Start 
Oblicz potęgę liczby zespolonej
\[(1+i)^8\]
Rozwiązanie
Są conajmniej dwa sposoby na rozwiązanie tego zadania:
Sposób I
Korzystając z własności potęg, wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz z definicji jednostki urojonej \(i^2=-1\), mamy:
\[(1+i)^8=\big((1+i)^2\big)^4=(1^2+2i+i^2)^4=(1+2i-1)^4=\]\[=(2i)^4=2^4\cdot i^4=16\cdot (i^2)^2=16\cdot (-1)^2=16\cdot 1=16\]
Sposób II
Skorzystamy ze wzoru de Moivre'a. W tym celu liczymy moduł i argument liczby \(1+i\):
\[|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\]
\[\arg(1+i)=\frac{\pi}{4}\]
ponieważ liczba \(1+i\) leży na dodatniej części prostej \(y=x\) (lub jak kto woli \(Im(z)=Re(z)\)), która jest nachylona do dodatniej części osi \(Re z\) pod kątem 45 stopni, czyli \(\frac{\pi}{4}\).
Ze wzoru de Moivre'a mamy:
\[(1+i)^8=(\sqrt{2})^8\cdot \left(\cos\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)=\]\[=2^4\cdot \left(\cos\left(2\pi\right)+i\sin\left(2\pi\right)\right)=16\cdot (1+0)=16\]
Wskazówki i teoria
Moduł liczby zespolonej \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) oznaczamy symbolem \(|z|\) i liczymy ze wzoru:
\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]
Szybki sposób wyznaczania argumentu liczby zespolonej
1 określ, w której ćwiartce płaszczyzny zespolonej leży argument (aby to zrobić wystarczy zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie i zobaczyć w której ćwiartce się znajduje)
2. wyznacz wartość takiego kąta \(\alpha\) leżącego w ćwiartce wyznaczonej w pkt 1, którego sinus jest równy \(\frac{y}{|z|}\) lub cosinus jest równy \(\frac{x}{|z|}\). Wystarczy obliczyć tylko wartość sinusa lub tylko wartość cosinusa, nie trzeba liczyć obu.
Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\).
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w I ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[0\le \arg(z)\le \frac{\pi}{2}\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w II ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{\pi}{2}\le \arg(z)\le \pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w III ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\le 0\)), to: \[\pi\le \arg(z)\le \frac{3}{2}\pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\le 0\)), to: \[\frac{3}{2}\pi\le \arg(z)\le 2\pi\]
Zapamiętaj wartości sinusa i cosinusa podstawowych kątów:
Wzór de Moivre'a i potęgowanie liczb zespolonych
Jeżeli \(z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\) oraz \(n\in\mathbb{N}\), to
\[z^n=|z|^n(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha)^n=|z|^n\big(\cos (n\alpha) +i\cdot \sin (n\alpha)\big)\]
Zapamiętaj schemat potęgowania liczb zespolonych
1. Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej, w tym celu oblicz jej moduł i argument
2. Zastosuj wzór de Moivre'a
3. Przejdź z powrotem na postać algebraiczną, w tym celu oblicz wartości cosinusa i sinusa
Komentarzy (4)
\[|1+i|=\sqrt{(Re(1+i))^2+(Im(1+i))^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\]