Start Oblicz granicę ciągu:
NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!
Kategorie zadań z rozwiązaniami z matematyki wyższej
- Ciągi liczbowe (20)
- Granice ciągów (38)
- Szeregi liczbowe (36)
- Szeregi potęgowe i funkcyjne (17)
- Szeregi Fouriera (4)
Zadania z granic ciągów i szeregów liczbowych
Oblicz granicę ciągu korzystając z twierdzenia o trzech ciągach:
Oblicz granicę ciągu:
Oblicz granicę ciągu:
Wykaż, że dla \(a>0,\,\,b>0\) granica ciągu wynosi:
Wykaż, że dla \(a>0,\,\,b>0,\,c>0\) granica ciągu wynosi:
Oblicz granicę:
\(\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n},\,\,\,\textrm{gdzie}\,\,a_n=\frac{n!}{n^n}\)
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym \(a_n\), jeśli
\(a_n=\sqrt{2n}-\sqrt{n+10}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
Wykaż, że dla \(|q|<1\) zbieżny jest szereg geometryczny:
\(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3\,+\,...\)
Znaleźć sumy częściowe szeregu liczbowego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
Wykaż, że szereg liczbowy jest rozbieżny:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty n=1+2+3\,+\,...\)
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n!)|}{2^n}\)
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadaj zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n+1}{n^4+n+2}\)
Korzystając z kryterium Cauchy'ego zbadaj zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\)
Korzystając z kryterium d'Alemberta zbadaj zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}\)
Korzystając z kryterium całkowego zbadaj zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\)
Korzystając z kryterium Leibniza zbadaj zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\)
Zbadaj zbieżność szeregu w zależności od parametru p:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\)
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\ln(n)}{n}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^4}{4^n}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2}{n!}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n!}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
\(\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!2^n}{n^n}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!3^n}{n^n}\)
Korzystając z kryterium Cauchy'ego zbadaj zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(n!)^n}{n^{n^2}}\)
Zbadaj zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^n}{2^{n^2}}\)
Korzystając z kryterium Cauchy'ego zbadaj zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}}{2^{n}}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego korzystając z kryterium Cauchy'ego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n^2}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego korzystając z kryterium Cauchy'ego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego korzystając z kryterium Cauchy'ego:
\(\sum\limits_{n=0}^\infty \left(1+\frac{1}{5^n}\right)^{n5^n}\)
Korzystając z kryterium d'Alemberta zbadaj zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{e^{4n-1}}{n3^n}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty\sqrt[n]{\frac{1}{n}}\)
Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów liczbowych wykaż, że szereg jest rozbieżny:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{n+2}{n+100}}\)
Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów liczbowych pokaż, że szereg jest rozbieżny:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\)
Korzystając z kryterium Leibniza zbadaj zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{2n+1}\)
Korzystając z kryterium Leibniza zbadaj zbieżność szeregu:
\(\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
Zbadaj zbieżność szeregu liczbowego:
Wyznacz przedział zbieżności szeregu:
Wyznacz przedział zbieżności szeregu:
Korzystając z Tw. Weierstrassa uzasadnij zbieżność bezwzględną i jednostajną szeregu funkcyjnego:
Wyznacz przedział zbieżności szeregu:
Korzystając z Tw. Weierstrassa uzasadnij zbieżność bezwzględną i jednostajną szeregu funkcyjnego:
Korzystając z Tw. Weierstrassa uzasadnij zbieżność bezwzględną i jednostajną szeregu funkcyjnego:
Jesteś w kategorii Ciągi i szeregi liczbowe zadania z rozwiązaniami
W tej kategorii znajdziesz rozwiązania typowych zadań dotyczących ciągów i szeregów liczbowych, w tym przykłady sprawdzania monotoniczności i ograniczonośći ciągów, liczenia granic ciągów, badania zbierzności szeregów liczbowych, funkcyjnych oraz szeregów Fouriera. Typowe schematy i pojęcia dotyczące granic ciągów to twierdzenie o dwóch i trzech ciągach, natomiast w przypadku szeregów liczbowych niezwykle ważne są kryteria zbieżnośći szeregów tj. kryterium porównawcze, ilorazowe, całkowe oraz kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego. Szeregi funkcyjne związane są z kolei z pojęciem promienia zbieżnośći.
Po zapoznaniu się z możliwie dużą liczbą rozwiązań zadań z ciągów i szeregów liczbowych, warto spróbować samodzielnie rozwiązać ponownie te same lub podobne zadania, ale tym razem nie należy zaglądać do rozwiązań zamieszczonych na stronie (chyba, że jedynie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku). Warto pamiętać, że pod każdym zadaniem masz sznasę zadać pytania w komentarzach. Zwróć uwagę, że tylko pełne zrozumienie rozwiązania zadania (oraz schematów i pojęć, które zostały w nim użyte) pozwala później na samodzielne rozwiązanie podobnego zadania w czasie trwania kolokwium lub egzaminu (tym bardziej w sytuacji stresującej).
Zadania z ciągów i szeregów są dość różnorodne i wymagają opanowania wielu schematów i metod (jak choćby kryteria zbieżnośći szeregów liczbowych), dlatego aby wyrobić sobie odpowidnią intuicję należy rozwiązać conajmniej kilkadziesiąt zadań i przykładów.