W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Kategorie zadań z rozwiązaniami z matematyki wyższej

Zadania z granic ciągów i szeregów liczbowych

Wykaż, że dla \(|q|<1\) zbieżny jest szereg geometryczny:

\(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+q^3\,+\,...\)

Zobacz rozwiązanie >>

Znaleźć sumy częściowe szeregu liczbowego:

\(\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

Zobacz rozwiązanie >>

Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregu:

\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{|\sin(n!)|}{2^n}\)

Zobacz rozwiązanie >>

Korzystając z kryterium ilorazowego zbadaj zbieżność szeregu:

\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n+1}{n^4+n+2}\)

Zobacz rozwiązanie >>

Korzystając z kryterium Cauchy'ego zbadaj zbieżność szeregu:

\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\)

Zobacz rozwiązanie >>

Korzystając z kryterium d'Alemberta zbadaj zbieżność szeregu:

\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}\)

Zobacz rozwiązanie >>

Korzystając z kryterium całkowego zbadaj zbieżność szeregu:

\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\)

Zobacz rozwiązanie >>

Korzystając z kryterium Leibniza zbadaj zbieżność szeregu:

\(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\)

Zobacz rozwiązanie >>

Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów liczbowych wykaż, że szereg jest rozbieżny:

\(\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{n+2}{n+100}}\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów liczbowych pokaż, że szereg jest rozbieżny:

\(\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Jesteś w kategorii Ciągi i szeregi liczbowe zadania z rozwiązaniami

W tej kategorii znajdziesz rozwiązania typowych zadań dotyczących ciągów i szeregów liczbowych, w tym przykłady sprawdzania monotoniczności i ograniczonośći ciągów, liczenia granic ciągów, badania zbierzności szeregów liczbowych, funkcyjnych oraz szeregów Fouriera. Typowe schematy i pojęcia dotyczące granic ciągów to twierdzenie o dwóch i trzech ciągach, natomiast w przypadku szeregów liczbowych niezwykle ważne są kryteria zbieżnośći szeregów tj. kryterium porównawcze, ilorazowe, całkowe oraz kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego. Szeregi funkcyjne związane są z kolei z pojęciem promienia zbieżnośći.

Po zapoznaniu się z możliwie dużą liczbą rozwiązań zadań z ciągów i szeregów liczbowych, warto spróbować samodzielnie rozwiązać ponownie te same lub podobne zadania, ale tym razem nie należy zaglądać do rozwiązań zamieszczonych na stronie (chyba, że jedynie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku). Warto pamiętać, że pod każdym zadaniem masz sznasę zadać pytania w komentarzach. Zwróć uwagę, że tylko pełne zrozumienie rozwiązania zadania (oraz schematów i pojęć, które zostały w nim użyte) pozwala później na samodzielne rozwiązanie podobnego zadania w czasie trwania kolokwium lub egzaminu (tym bardziej w sytuacji stresującej). 

Zadania z ciągów i szeregów są dość różnorodne i wymagają opanowania wielu schematów i metod (jak choćby kryteria zbieżnośći szeregów liczbowych), dlatego aby wyrobić sobie odpowidnią intuicję należy rozwiązać conajmniej kilkadziesiąt zadań i przykładów.