Start Szkoła średnia - podstawowe wzory i własności
1. Działania na potęgach
Wydają się oczywiste, a jednak tak wielu studentów pepełnia błędy wykonując te działania
- liczba podniesiona do ujemnej potęgi jest równa odwrotności, tzn.
\[\bf a^{-n}=\frac{1}{a^n}, a\neq 0\]
przykład
\[\frac{1}{x^{-2}}=\frac{1}{\frac{1}{x^2}}=x^2\]
- pierwiastek n-tego stopnia z dowolnej liczby jest równy tej liczbie podniesionej do potęgi \(\frac{1}{n}\), czyli
\[\bf \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\]
przykład:
\[\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\]
- dodajemy wykładniki w przypadku iloczynu potęg o tych samych podstawach:
\[\bf a^m a^n=a^{m+n}\]
przykład
\[\sqrt{x}x^5=x^{\frac{1}{2}}x^5=x^{\frac{1}{2}+5}=x^{5\frac{1}{2}}\]
- odejmujemy wykładniki w przypadku ilorazu potęg o tych samych podstawach:
\[\bf \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\]
- potęga iloczynu jest iloczynem potęg:
\[\bf (ab)^n=a^{n}b^n\]
przykład
\[2^{123}\left(\frac{1}{2}\right)^{123}=\left(2\, \frac{1}{2}\right)^{123}=1^{123}=1\]
(zobacz jak bardzo ta własność może uprościć obliczenia, bo dużo trudniej byłoby, gdybyśmy póbowali liczyć osobno \(2^{123}\) oraz \(\left(\frac{1}{2}\right)^{123}\))
- potęga ilorazu jest ilorazem potęg:
\[\bf \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^{n}}{b^n}\]
- mnożymy wykładniki w przypadku potęgowania potęgi:
\[\bf (a^n)^m=a^{nm}\]
Zapamiętanie własności potęgowania to podstawa sukcesu w algebrze liniowej, szczególnie przy okazji zadań z wielomianów i liczb zespolonych, a także w analizie matematycznej w zadaniach z pochodnymi, całkami i szeregami liczbowymi.
2. Wzory skróconego mnożenia
Niejeden student poległ na kolokwium, bo nie uprościł obliczeń korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
różnica kwadratów, czyli
\[\bf a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
jest bardzo ważnym wzorem, który trzeba umieć stosować zarówno od "lewej do prawej" jak i od "prawej do lewej", tzn. gdy pojawi się w obliczeniach \(\bf a^2-b^2\) to możemy to zamienić na \(\bf (a-b)(a+b)\), a gdy pojawi się
\(\bf (a-b)(a+b)\) to możemy to zamienić na \(\bf a^2-b^2\).
Przykład:
\[x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\]
W kolejnym przykładzie, który Ci zaraz pokażę "i" oznacza jednostkę urojoną, która posiada własność \(\bf i^2=-1\).
\[\bf (a-b{\color{red}i})(a+b{\color{red}i})=a^2-(bi)^2=a^2-b^2i^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2\]
kwadrat sumy i różnicy:
\[\bf (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
\[\bf (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
Te wzory to niby nic trudnego, ale czasem trzeba uzupełnić wyrażenie do wzoru skróconego mnożenia poprzez dodanie i odjęcie "czegoś", co to znaczy?
Zobacz sam:
\[\bf a^2+b^2=a^2+b^2+2ab-2ab=(a+b)^2-2ab\]
Jak widzisz uzupełniłem wyrażenie \(\bf a^2+b^2\) do sumy kwadratów poprzez dodanie i odjęcie składnika \(\bf 2ab\).
Możemy to również napisać tak:
\[\bf a^2+b^2=a^2+b^2-2ab+2ab=(a-b)^2+2ab\]
Technikę uzupełniania do wzoru skróconego mnożenia (dodanie i odjęcie tego samego wyrażenia) stosuje się bardzo często w analizie matematycznej i algebrze liniowej, np. przy liczeniu całek oraz przy okazji zadań z krzywych stozkowych (elipsa, hiperbola i parabola).
3. Funkcje trygonometryczne
Opanowanie własności funkcji trygonometrycznych do klucz do zdanej algebry liniowej, szczególnie przy okazji działu liczby zespolone, gdzie masz np. do czynienia z postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
jedynka trygonometryczna:
\[\bf \sin^2x+\cos^2x=1\]
przesunięcie "sinusa" względem "cosinusa" o kąt \(\bf \frac{\pi}{2}\) (jest to prosta zależność między funkcją sinus a cosinus):
\[\bf \sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right),\,\,\,\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) \]
cosinus jest funkcją parzystą, tzn.
\[\bf \cos(-x)=\cos x\]
a sinus nieparzystą, czyli
\[\bf \sin(-x)={\color{red}-}\sin x\]
wzór na sinus podwojonego kąta:
\[\bf \sin 2x=2\sin x \cos x\]
wzór na cosinus podwojonego kąta:
\[\bf \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\]
Ostatnie dwa wzory są niezwykle przydatne w zadaniach dotyczących całek z funkcjami trygonometrycznymi. W poniższej tabelce znajdziesz wartości funkcji trygonometrycznych dla kilku najczęściej pojawiających się w zadaniach wielkości kąta
4. 5 najczęstszych błędów przy liczeniu całek i rozwiązywaniu równań
Te błędy mogą zdyskwalifikować Cię w oczach wykładowcy... Widząc jeden z TYCH błędów, wykładowca wyrobi sobie natychmiast negatywne zdanie o Tobie. Dlatego unikaj ich jak ognia!
Błąd nr 5: Rozdzielanie ułamka
Ten błąd kosztował wiele już niejednego studenta, szczególnie przy okazji kolokwium z całek. Nie wolno Ci nigdy rozdzielać ułamków względem mianownika (czyli "dołu" ułamka).
\[\frac{a+b}{c+d}\neq\frac{a}{c}+\frac{b}{d}\]
Zobacz co by było, gdyby wzór powyżej był prawdziwy...
\[{\bf\frac{1}{4}}=\frac{1+0}{2+2}=\frac{1}{2}+\frac{0}{2}={\bf\frac{1}{2}}\]
Możemy natomiast zawsze rozdzielić ułamek względem licznika ("góry" ułamka), czyli
\[\frac{a+b}{c+d}=\frac{a}{c+d}+\frac{b}{c+d}\]
4.1. Błąd nr 4: Problemy ze znakiem w równaniu
Rozwiązując równania najczęściej przenosimy jakieś zmienne lub liczby z jednej strony równości na drugą. Koniecznie musisz pamiętać, żeby zawsze zmienić znak na przeciwny przy takiej operacji. O co mi chodzi? No więc popatrzmy na ten przykład równania, w którym mamy znaleźć niewiadomą x
\[2x+3=3x-4\]
Oczywiście wystarczy teraz przenieść niewiadome na jedną stronę równości a wiadome (czyli liczby) na drugą. Musimy pamiętać przy tym o zmianie znaku na przeciwny, czyli
\[2x{{\color{red}-}}3x=-4{ {\color{red}-}}3\]
(ale nie! \(2x{{\color{red}+}}3x=-4{\bf {\color{red}+}}3\))
czyli \(-x=-7/{^.}(-1)\), więc ostatecznie \(x=7\).
4.2. Błąd nr 3: Problemy ze zwrotem nierówności
Na ten błąd uważaj szczególnie przy okazji rozwiązywania nierówności z liczbami zespolonymi. Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną trzeba zmienić zwrot nierówności na przeciwny, np chcąc znaleźć wszystkie wartości x spełniające nierówność
\[-2x{\color{red}<}4\]
musimy obie strony podzielić przez -2, czyli\[-2x<4/:(-2)\]a stąd mamy\[x{\bf{\color{red}>}}-2\](jak widzisz nierówność zmieniła swój zwrot)
4.3. Błąd nr 2: Upraszczanie i skracanie ułamka
Nigdy nie wolno nam upraszczać lub skracać licznika i mianownika ułamka w ten sposób
\[\frac{{\color{red}2}a+b}{{\color{red}2}c+d}\neq\frac{a+b}{c+d}\]
(mam na myśli skracanie liczby "2")
tak też nie wolno
\[\frac{{\color{red}2}a+b}{{\color{red}2}(c+d)}\neq\frac{a+b}{c+d}\]
(tutaj też skrócenie "2" jest niedozwolone)
Pytanie więc jak można uprościć ułamek? Otóż, należy wyciągnąć z licznika i mianownika wspólny czynnik przed nawias i ewentualnie wtedy go skrócić. Przykład
\[\frac{2a+4b}{6c+2d}=\frac{{\color{red}2}(a+2b)}{{\color{red}2}(3c+d)}=\frac{a+2b}{3c+d}\]
(przy iloczynach w liczniku i mianowniku można dokonać skrócenia)
4.4. Błąd nr 1: Przeoczenie rozwiązania przy dzieleniu obu stron równania
Ostatni błąd wygląda niewinnie, ale to tylko pozory, bo jego popełnienie może skutkować utratą wielu punktów na kolokwium.
Najlepszym sposobem na rozwiązanie równania wielomianowego (czyli takiego z potęgami, np. równanie kwadratowe) jest doprowadzenie go do postaci iloczynowej. Należy unikać dzielenia obu stron równania przez jakąkolwiek niewiadomą (nie mówię tu o dzieleniu przez liczbę, takie dzielenie jest wręcz niezbędne). Spróbujmy rozwiązać równanie 3-go stopnia
\[x^3-4x=0\]
Wielu studentów podzieliłoby teraz obie strony tego równania przez x, żeby obniżyć stopień i mieć zwykłe równanie kwadratowe. Nie jest to najlepszy sposób, bo trzeba pamiętać, że x=0 też jest rozwiązaniem tego równania i na końcu w odpowiedzi do zadania trzeba to uwzględnić.
Do tego przy dzieleniu obu stron przez x trzeba założyć, że \(x\neq 0\), bo przecież nie można dzielić przez 0 (x jest dowolną liczbą rzeczywistą, czyli może być równy 0).
Dlatego, żeby nie komplikować sobie życia najlepiej wyciągnąć po lewej stronie naszego równania niewiadomą x przed nawias, czyli
\[{\color{red}x}(x^2-4)=0\]
teraz wystarczy zastosować wzór skróconego mnożenia
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
(u nas a=x, b=2) i stąd mamy
\[x(x-2)(x+2)=0\]
Na koniec musimy skorzystać z faktu, że jeżeli iloczyn 3 liczb (u nas te 3 liczby to x, x-2 oraz x+2) jest równy 0 to
- pierwsza liczba jest równa zero, dlatego u nas x=0
- lub druga liczba jest równa zero, stąd mamy x-2=0
- lub trzecia liczba jest równa 0, stąd u nas x+2=0
Jak widzisz w ten sposób otrzymujemy wszystkie rozwiązania naszego równania (łącznie z x=0) i nie musimy martwić się dzieleniem przez zero. Zbiór rozwiązań naszego równania to \(x\in\{0,2,-2\}\).
Komentarzy (0)