Liczby zespolone - zadania z rozwiązaniami

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji oblicz

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2+1}{3\cos(x)}\]

Rozwiązanie

Skorzystamy z faktów, że granica ilorazu funkcji jest ilorazem granic oraz własności granic funkcji ciągłych (funkcje \(f(x)=x^2+1\) i \(g(x)=3\cdot \cos(x)\) są ciągłe):

\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2+1}{3\cos(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to 0}(x^2+1)}{\lim\limits_{x\to 0}3\cos(x)}=\frac{0+1}{3\cdot 1}=\frac{1}{3}\]

Wskazówki

W granicy wykorzystujemy również fakt, że \(\cos 0=1\)

Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji

Jeżeli istnieją granice \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) i \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\), to:

Granica sumy funkcji jest równa sumie granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)+ g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)+ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica różnicy funkcji jest równa różnicy granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)- g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)-\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica iloczynu liczby (stałej) przez funkcję jest równa iloczynowi liczby przez granicę funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\]Granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica ilorazu funkcji jest równa ilorazowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)},\,\,gdy\,\,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\neq 0\]Granica funkcji \(f(x)\) podniesionej do potęgi równej funkcji \(g(x)\) jest równa potędze granic tych funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\big(f(x)\big)^{g(x)}\right)=\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)^{\left(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\right)}\]

Jak liczyć granice funkcji ciągłych?

Granica funkcji \(f(x)\) ciągłej w punkcie \(x_0\) przy \(x\to x_0\) jest równa wartości tej funkcji w punkcie \(x_0\), czyli \(f(x_0)\):\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\]Obrazowo, funkcja \(f(x)\) jest ciągła w jakimś punkcie \(x_0\) (należącym do jej dziedziny), gdy wykres tej funkcji można poprowadzić przez punkt \(x_0\) bez odrywania ręki (długopisu, ołówka itp.).