W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Znaleźć układ fundamentalny i rozwiązać równanie różniczkowe II-go rzędu o stałych współczynnikach:

Równania różniczkowe 2-go rzędu - zad. 7

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Komentarzy (3)

  • Sebastian Orzeł
    Dzień dobry, tak rzeczywiście, w treści zadania wkradł się błąd. Prawidłowe równanie różniczkowe to 4y'' - 4y' + y = 0. Dziękuję za zauważenie tej literówki. Dodam, że rozwiązanie równania 4y'' - y' + y = 0 przebiega podobnie do rozwiązania powyżej. Oto szkic rozwiązania:

    Liczymy pierwiastki wielomianu charakterystycznego \(w(\lambda)=4\lambda^2-\lambda+1\).
    Liczymy deltę, która wynosi -15, więc pierwiastki są liczbami zespolonymi (tutaj i tutaj możne Pan zobaczyć jak liczy się pierwiastki z liczb ujemnych) \(\lambda_1=\frac{1}{8}-\frac{\sqrt{15}}{8}i\) oraz \(\lambda_2=\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{15}}{8}i\)
    Rozwiązanie równania różniczkowego 4y''-y'+y=0 jest więc postaci (procedura rozwiązywania opisana jest we wskazówkach do zadania powyżej)
    \[y(t)=e^{\frac{t}{8}}\left(C_1\cos \left(\frac{\sqrt{15}}{8}t\right)+C_2\sin \left(\frac{\sqrt{15}}{8}t\right) \right)\]
    gdzie \(C_1,C_2\) są stałymi rzeczywistymi. Układ fundamentalny równania różniczkowego 4y''-y'+y=0 stanowią funkcje \[y_1(t)=e^{\frac{t}{8}}\cos \left(\frac{\sqrt{15}}{8}t\right)\]\[y_2(t)=e^{\frac{t}{8}}\sin \left(\frac{\sqrt{15}}{8}t\right)\]Na koniec sprawdzenie wyniku na stronie wolframalpha.com

    P.S. 1 Wszystkie zadania rozwiązuję sam, tutaj można znaleźć informacje o mnie ;-)
    P.S. 2 Dziękuję za pomoc, postanowiłem przedłużyć ważność Pana abonamentu o jeden dzień.
  • SiwyGnO
    Oczywiście chodzi mi o 4y''-4y'+y=0
  • SiwyGnO
    dlaczego zmieniliście rozwiązanie zadania? Zadanie to 4y'' - 4y' + y = 0, a poniżej obliczacie różniczkę 4y''-y'+y=0? Skąd ta różnica? Czy to czysty błąd czy co? Ponieważ zmiana ta znacznie zmienia rozwiązanie całego równania różniczkowego. Pozdrawiam i czekam za wyjaśnieniem :P