Rozwiąż równanie różniczkowe niejednorodne - zad. (10)

Rozwiąż równanie różniczkowe niejednorodne przy użyciu wielomianu charakterystycznego oraz za pomocą transformaty Laplace'a:

\(y''+9y=e^{x}\cos(3x)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Komentarzy (4)

- Odpowiedz
Sebastian 3 lat temu
@Sashinn Jest to równanie różniczkowe liniowe II-go rzędu o stałych współczynnikach, więc wiemy z teorii, że rozwiązanie będzie postaci:
\[y(x)=y_j(x)+y_s(x)\]
Rozwiązujemy równanie jednorodne (stąd dostaniemy \(y_j(x)\)) , a potem szukamy postaci \(y_s(x)\), która zależna jest od funkcji po prawej stronie równania. Można też użyć transformat Laplace'a.
- Odpowiedz
Sashinn 3 lat temu
A jak podejść do czegoś takiego? y′′ + 4y′ + 4y = e^−2x ln x?
- Odpowiedz
Sebastian 5 lat temu
@RadekR Dzień dobry, często taka postać jest w tablicach, ale można ją też łatwo wyprowadzić znając wzory na transformaty Laplace'a funkcji sinus i cosinus:\[L\left[e^{ax}\sin(bx)\right](s)=\int\limits_{0}^\infty e^{-sx}e^{ax}\sin(bx)dx=\int\limits_{0}^\infty e^{-(s-a)x}\sin(bx)dx=L[\sin(bx)](s-a)=\frac{b}{(s-a)^2+b^2}\]podobnie:\[L\left[e^{ax}\cos(bx)\right](s)=\int\limits_{0}^\infty e^{-sx}e^{ax}\cos(bx)dx=\int\limits_{0}^\infty e^{-(s-a)x}\cos(bx)dx=L[\cos(bx)](s-a)=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}\] Jeśli chodzi o minus przy \(sy(0)\), to rzeczywiście wkradł się błąd, który został już poprawiony. Dziękuję za czujność i pozdrawiam
- Odpowiedz
RadekR 5 lat temu
Dzień dobry. Nie do końca rozumiem w metodzie transformaty Laplaca przejścia z \(L[e^x\cdot cos(3x)]\). Takiej postaci nie ma w tablicach i nie wiem jak "złożyć" transformatę z \(\cos3x\) i \(e^x\). Poza tym podczas liczenia \(L[y'']\) czy zamiast \(sy(0)\) nie powinno być \(-sy(0)\)?Pozdrawiam i z góry dziękuję za odpowiedź.