W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Kategorie zadań z rozwiązaniami z matematyki wyższej

Równania różniczkowe - zadania z rozwiązaniami

Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego spełniające warunek początkowy przy użyciu wielomianu charakterystycznego oraz za pomocą transformaty Laplace'a:

\(x''-x=0,\,\,x(0)=1,\,x'(0)=0\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego niejednorodnego spełniające warunek początkowy przy użyciu wielomianu charakterystycznego oraz za pomocą transformaty Laplace'a:

\(x''-x=e^{-t},\,\,x(0)=1,\,x'(0)=0\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Rozwiąż równanie różniczkowe niejednorodne przy użyciu wielomianu charakterystycznego oraz za pomocą transformaty Laplace'a:

\(y''+9y=e^{x}\cos(3x)\)

Rozwiązanie widoczne po rejestracji

Jesteś w kategorii Równania różniczkowe zadania z rozwiązaniami

W tej kategorii znajdziesz rozwiązania typowych zadań dotyczących równań różniczkowych zwyczajnych (czyli dotyczących funkcji jednej zmiennej), w tym przykłady z równań różniczkowych I-go i II-go rzędu, zagadnienia Cauchy'ego (zagadnienia początkowe lub z warunkami początkowymi). Równania różniczkowe opisują wiele zjawisk rzeczywistych (związanych np. ze zmianą zjawiska w czasie, przestrzeni itp.), dlatego są bardzo użyteczne w różnych zagadnieniach techniki i przemysłu, a także np. w fizyce i finansach.

Typowe schematy rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych zależą od ich postaci. Mamy np. równania różniczkowe I-go rzędu o rozdzielonych zmiennych, równania jednorodne, liniowe itd. Do rozwiązywania równań różniczkowych liniowych można użyć metody uzmienniania stałej lub przewidywania (postaci rozwiązania). W przypadku równań różniczkowych liniowych rzędu II-go podstawowym narzędziem jest tzw. układ fundamentalny, do którego wyznaczenia stosujemy wyznacznik Wrońskiego (wrońskian). W przypadku równań różniczkowych liniowych II-go rzędu o stałych wzpółczynnikach podstawowym narzędziem jest równanie charakterystyczne, które pozwala określić postać całek szczególnych i całki ogólnej.

Po zapoznaniu się z możliwie dużą liczbą rozwiązań zadań z równań różniczkowych, warto próbować samodzielnie rozwiązać ponownie te same zadania, ale zaglądać do rozwiązań zamieszczonych na stronie jedynie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku. Warto pamiętać, że pod każdym zadaniem istnieje możliwość zadania pytania w komentarzu. Zwróć uwagę, że tylko pełne zrozumienie rozwiązania zadania (oraz schematów i pojęć, które zostały w nim użyte) pozwala później na samodzielne rozwiązanie podobnego zadania w czasie trwania kolokwium lub egzaminu. Zadania z równań różniczkowych nie należą do łatwych, dlatego opanowanie wszystkich schematów i metod rozwiązywania równań różniczkowych zajmuje sporo czasu i wymaga wiele pracy.