Kula wystrzelona z armaty zakreśla w powietrzu łuk opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jaką maksymalną wysokość osiągnie kula?

Rozwiązanie

Szukamy maksymalnej wysokości kamienia, czyli maksymalną wartość zmiennej y. W tym celu obliczamy pochodną i wyznaczymy ekstremum lokalne funkcji \(y(x)\):

\[y'(x)=\left(x-x^2\right)'=1-2x\]

Wyznaczamy ekstremum funkcji:

\[y'(x)=0\]

\[1-2x=0\]

\[x=\frac{1}{2}\]

Funkcja \(y(x)\) jest rosnąca dla \(x<\frac{1}{2}\) (pochodna jest dodatnia) i malejąca dla \(x>\frac{1}{2}\) (pochodna jest ujemna), zatem funkcja ma maksimum w punkcie \(x=\frac{1}{2}\).

Liczymy wartość funkcji dla \(x=\frac{1}{2}\):

\[y\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\]

Wskazówki

W tego typu zadaniach zawsze zaczynamy od wyznaczenia dziedziny funkcji.

Monotoniczność funkcji a pochodna

Jeżeli

\(f'(x)>0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest rosnąca dla \(x\in(a,b)\)
\(f'(x)<0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest malejąca dla \(x\in(a,b)\)
\(f'(x)\ge 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest niemalejąca dla \(x\in(a,b)\)
\(f'(x)\le 0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest nierosnąca dla \(x\in(a,b)\)
\(f'(x)=0\) dla \(x\in(a,b)\), to funckja f(x) jest stała dla \(x\in(a,b)\)

Ekstrema lokalne a pochodna funkcji

Funkcja ciągła i różniczkowalna (mająca pochodną) może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, które należą do dziedziny i w których jej pochodna jest równa zero (lub nie istnieje), czyli szukamy takich punktów \(x_0\), że

\[f'(x_0)=0\]

Jeżeli istnieje \(\delta>0\) taka, że

\(f'(x)>0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) i \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada maksimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\);
\(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) i \(f'(x)<0\), dla \(x\in(x_0,x_0+\delta)\), to funkcja posiada minimum lokalne (właściwe) w punkcie \(x_0\).

Tłumaczenie na "ludzki" język:

Jeżeli funkcja jest rosnąca na lewo od punktu \(x_0\) i malejąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy maksimum lokalne.

Jeżeli funkcja jest malejąca na lewo od punktu \(x_0\) i rosnąca na prawo od \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) mamy minimum lokalne.

Funkcja może być rosnąca lub majejąca na lewo lub na prawo od punktu \(x_0\) nawet na małym odcinku. Dlatego właśnie ekstremum ma nazwę lokalne.

Ekstrema lokalne a druga pochodna funkcji

Jeżeli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna, druga pochodna funkcji jest ciągła oraz

\(f'(x_0)=0,\,\,\,f''(x_0)\neq 0\),

to funkcja f(x) posiada ekstremum lokalne w punkcie \(x_0\).

Jeżeli

\(f''(x_0)<0\), to funkcja ma maksimum lokalne w punkcie \(x_0\);
\(f''(x_0)>0\), to funkcja ma minimum lokalne w punkcie \(x_0\).

Kula wystrzelona z armaty zakreśla w powietrzu łuk opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jaką maksymalną wysokość osiągnie kula?

Rozwiązanie

Wskazówki

Komentarzy (0)