Komentarzy (2)

• Imię
• E-mail (niewidoczny)
• Komentarz

WYŚLIJ

• 

  • Odpowiedz

  Sebastian 7 lat temu

  @kaskada9 Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x czyli:\[\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)\]Rozpisujemy:\[\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)+f(x)-f(x-h)}{2h}=\]\[=\frac{1}{2}\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{1}{2}\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x-h)-f(x)}{h}=(*)\]Niech \(h_1=-h\), wtedy:\[(*)=\frac{1}{2}f'(x)-\frac{1}{2}\lim\limits_{h_1\to 0}\frac{f(x+h_1)-f(x)}{-h_1}=\frac{1}{2}f'(x)+\frac{1}{2}\lim\limits_{h_1\to 0}\frac{f(x+h_1)-f(x)}{h_1}=\frac{1}{2}f'(x)+\frac{1}{2}f'(x)=f'(x)\]Z istnienia tej granicy nie wynika istnienie pochodnej, proszę rozważyć przykład funkcji \(f(x)=|x|\) dla \(x=0\). Granica istnieje, ale pochodna nie.
• 

  • Odpowiedz

  kaskada9 7 lat temu

  Jak mogę dowieść że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, to lim(h→0) (f(x+h)−f(x−h))/2h = f′(x).
  Rozstrzygnać, czy z istnienia granicy lim(h→0) (f(x+h)−f(x−h))/2h wynika istnienie pochodnej f′(x).