W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Stosując rozwinięcie Laplace'a oblicz wyznacznik macierzy 4x4

Wyznacznik macierzy 4x4, zad. 12

Rozwiązanie

Stosujemy rozwinięcie Laplace'a względem 3 kolumny (wybieramy właśnie tą kolumnę, ponieważ posiada ona aż dwa zera - dzięki temu będzie się szybciej i łatwiej liczyło):

Wyznacznik macierzy 4x4, zad. 12a - rozwiązanie

Obliczenia pomocnicze - dwa ostatnie wyznaczniki stopnia 3 (stosujemy rozwinięcia Laplace'a względem 1 kolumny):

\[\begin{vmatrix}\color{red}1&3&-1\\\color{red}3&1&1\\\color{red}{-1}&2&3\end{vmatrix}=\color{red}{1}\cdot (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}+\color{red}{3}\cdot (-1)^{2+1}\begin{vmatrix}3&-1\\2&3\end{vmatrix}+(\color{red}{-1})\cdot (-1)^{3+1}\begin{vmatrix}3&-1\\1&1\end{vmatrix}=\]\[=1\cdot1\cdot (1\cdot 3-2\cdot 1)+3\cdot (-1)\cdot (3\cdot 3-2\cdot (-1))+(-1)\cdot 1\cdot (3\cdot 1-1\cdot (-1))=1-33-4=-36\]

\[\begin{vmatrix}\color{red}1&3&-1\\\color{red}0&2&3\\\color{red}{-1}&2&3\end{vmatrix}=\color{red}{1}\cdot (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}2&3\\2&3\end{vmatrix}+\color{red}{0}\cdot (-1)^{2+1}\begin{vmatrix}3&-1\\2&3\end{vmatrix}+(\color{red}{-1})\cdot (-1)^{3+1}\begin{vmatrix}3&-1\\2&3\end{vmatrix}=\]\[=1\cdot1\cdot (2\cdot 3-2\cdot 3)+0+(-1)\cdot 1\cdot (3\cdot 3-2\cdot (-1))=0+0-11=-11\]

Wskazówki:

  1. Przy stosowaniu rozwinięcia Laplace'a do liczenia wyznacznika macierzy wybieramy zawsze wiersz lub kolumnę, która posiada najwięcej zer - pozwala to znacznie uprościć i przyspieszyć obliczenia.
    Aby to dobrze zrozumieć, spróbuj obliczyć wyznacznik macierzy 4x4 lub 5x5 stosując rozwinięcie względem wiersza lub kolumny, która nie ma żadnych zer...
  2. Do liczenia wyznaczników macierzy stopnia 3 można używać rozwinięcia Laplace'a lub metody Sarrusa (zobacz przykłady tutaj).
    Przy obliczeniach pomocniczych użyliśmy rozwinięć Laplace'a względem 1 kolumny.
  3. Wyznacznik macierzy stopnia 2 liczymy ze wzoru:
    \(\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=a\cdot d-b\cdot c\)

Schemat rozwinięcia Laplace'a

W przypadku macierzy A stopnia n, schemat metody Laplace'a wygląda następująco:

1. Wybieramy wiersz lub kolumnę macierzy, w której znajduje się najwięcej zer

2. "Rozwijamy" wyznacznik względem wybranego wiersza lub kolumny wyliczając wyznaczniki macierzy stopni n-1 (dopełnienia algebraiczne kolejnych elementów).

W przypadku rozwinięcia względem i-tego wiersza (gdzie \(i=1,2,\ldots,n\)) schemat metody Laplace'a wygląda następująco:

\[\det A=a_{i1}\cdot (-1)^{i+1}\cdot\det A_{i1}+a_{i2}\cdot (-1)^{i+2}\cdot\det A_{i2}+\ldots +a_{in}\cdot (-1)^{i+j} \cdot\det A_{in}=\]\[=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}\cdot (-1)^{i+k}\cdot \det A_{ik}\]

gdzie \(A_{ij}\) jest macierzą stopnia n-1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny (\(\det A_{ij}\) to minor macierzy), np. \(A_{12}\) to macierz powstała przez usunięcie 1-go wiersza i 2-giej kolumny w macierzy A.

Zauważ, że \((-1)^{i+k}\) będzie na przemian równe -1 i 1 lub 1 i -1, więc w rozwinięciu Laplace'a kolejne wyrażenia mają na przemian znak minus i plus (lub plus i minus).

W przypadku rozwinięcia względem j-tej kolumny (gdzie \(j=1,2,\ldots,n\)) mamy następujący wzór na wyznacznik:

\[\det A=a_{1j}\cdot (-1)^{1+j}\cdot \det A_{1j}+a_{2j}\cdot (-1)^{2+j}\cdot \det A_{2j}+\ldots +a_{nj}\cdot (-1)^{n+j}\cdot\det A_{nj}=\]\[=\sum\limits_{k=1}^n a_{kj}\cdot (-1)^{k+j}\cdot\det A_{kj}\]

np. gdy \(j=1\) to rozwinięcie Laplace'a następuje względem pierwszej kolumny:

\[\det A=a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det A_{11}+a_{21}\cdot (-1)^{2+1}\cdot\det A_{21}+\ldots +a_{n1}\cdot (-1)^{n+1}\cdot\det A_{n1}=\]\[=a_{11}\cdot\det A_{11}-a_{21}\cdot\det A_{21}+\ldots +a_{n1}\cdot (-1)^{n+1}\cdot\det A_{n1}\]

Używając dopełnień algebraicznych rozwinięcie Laplace'a względem i-tego wiersza można zapisać następująco:

\[\det A=a_{i1}\cdot D_{i1}+a_{i2}\cdot D_{i2}+\ldots +a_{in}\cdot D_{in}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}\cdot D_{ik}\]

Natomiast rozwinięcie względem j-tej kolumny wygląda tak:

\[\det A=a_{1j}\cdot D_{1j}+a_{2j}\cdot D_{2j}+\ldots +a_{nj}\cdot D_{nj}=\sum\limits_{k=1}^n a_{kj}\cdot D_{kj}\]

 

Komentarzy (5)

  • Sebastian Orzeł
    @Marta89897(7 Mamy tam -1, ale do potęgi 3+3=6 (a nie samo -1), co daje nam +1 (a nie -1) i dlatego przed trzecim wyznacznikiem nie mamy -2 a 2. Dokładnie mamy coś takiego \(2\cdot (-1)^{3+3}=2\cdot (-1)^6=2\cdot 1=2\).
    Przy stosowaniu metody Laplace'a generalnie w kolejnych składniach (przy kolejnych wyznacznikach) mamy na przemian znak + i - (wynika to z występowania -1 na przemian do potęg parzystych i nieparzystych).
  • Marta89897(7
    A czy z przy końcowym liczeniu wyznaczników nie powinno być -2 i dopiero trzeci wyznacznik? Bo nie bardzo mogę to zrozumieć. Przed drugim wyznacznikiem jest 1*(-1) więc rozumiem czemu później jest -wyznacznik, ale czemu później jak jest 2*(-1) przed wyznacznikiem jest +2 zamiast -2
  • adrianna3
    @sebo! dziękuje bardzo, już wszystko jasne :)
  • Sebastian Orzeł
    @adrianna3 Wynik (14) jest prawidłowy (może Pani to sprawdzić w kalkulatorze wyznacznika macierzy). Rozpisałem szczegółowo wszystkie obliczenia, mam nadzieję, że teraz będzie wszystko jasne, pozdrawiam
  • adrianna3
    Nie rozumiem skąd wziął się wynik 14, mi wychodzi 12. Może Pan wytłumaczyć jak wylicza się końcowe macierze tam gdzie jedną mnoży się przez 2, a druga jest z -. Bo obliczeń pomocniczych też nie rozumiem, jak to się mnoży?Skąd np. to 1*(3-2)-3*(9+2)-1*(3+1)=-36