Start 
Czy istnieją macierze A i B, takie, że:
\[A\cdot B=I\,\,\textrm{ale}\,\,B\neq A^{-1}\]
Rozwiązanie
Niech I będzie macierzą jednostkową stopnia 1 tzn.:
\[I=[1]\]
Niech \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\) oraz:
\[A=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\]
\[B=\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}\]
Zauważ, że pierwsza macierz jest wymiaru 1x2, a druga 2x1, więc iloczyn macierzy AB jest macierzą wymiaru 1x1. Sprawdźmy dla jakich wartości parametrów zachodzi równość:
\[A\cdot B=I\]
\[\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c&d\end{bmatrix}=[ac+bd]=[1]\]
stąd:
\[ac+bd=1\]
Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań powyższego równania, np.:
\[a=1,\,b=0,\,\,c=1,\,\,d=0\]
Zatem istnieje nieskończenie wiele macierzy A i B takich, że \(A\cdot B=I\), co więcej \(B\neq A^{-1}\), ponieważ macierz \(A\) nie jest macierzą kwadratową i nie posiada macierzy odwrotnej (\(A^{-1}\) nie istnieje!)
Na koniec zauważmy, że:
\[B\cdot A=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\]
Wskazówki
Macierz odwrotną można liczyć tylko dla macierzy kwadratowych nieosobliwych (czyli takich, które posiadają wyznacznik różny od zera).
Macierz odwrotną do macierzy \(A\) oznaczamy symbolem \(A^{-1}\), taka macierz spełnia równanie:
\[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\]
gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową takiego samego stopnia jak macierz \(A\).
Metody obliczania macierzy odwrotnych:
- ze wzoru, który wymaga obliczenia wyznacznika i dopełnień algebraicznych wszystkich elementów macierzy
- przy użyciu metody Gaussa-Jordana, która polega na stosowaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy, zgodnie ze schematem \[[A|I]\xrightarrow{\textrm{operacje elementarne na wierszach}}[I|A^{-1}]\]gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową takiego samego stopnia jak macierz A
Wzór na macierz odwrotną
do obliczenia macierzy odwrotnej możemy użyć następującego wzoru:
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\big(A^D\big)^T=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&\ldots&D_{1n}\\D_{21}&D_{22}&\ldots&D_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\D_{n1}&D_{n2}&\ldots&D_{nn}\end{bmatrix}^T\]
gdzie \(|A|\) jest wyznacznikiem macierzy A, natomiast \(D_{ij}\) są dopełnieniami algebraicznymi elementów \(a_{ij}\) macierzy A.
Macierz \(A^D\) nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych.
Wzór na macierz odwrotną do macierzy stopnia 2:
\[\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\]
Przykład
\[\begin{bmatrix}2&0\\3&1\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{2\cdot 1-0\cdot 3}\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&0\\-3&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&0\\-\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\]
Zapamiętaj najważniejsze własności macierzy odwrotnej
\[\big(A^{-1}\big)^{-1}=A\]\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]\[\big(A^{T}\big)^{-1}=\big(A^{-1}\big)^T\]\[diag(d_1,d_2,\ldots,d_n)^{-1}=diag\left(\frac{1}{d_1},\frac{1}{d_2},\ldots,\frac{1}{d_n}\right), \,\,\,\textrm{gdy}\,\,\,d_1\neq 0,\,d_2\neq 0,\ldots,d_n\neq 0\]
Komentarzy (0)