Komentarzy (4)

• Imię
• E-mail (niewidoczny)
• Komentarz

WYŚLIJ

• 

  • Odpowiedz

  Sebastian 2 lat temu

  @K0428 Wynika to bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej tj. \(|x|=x\) dla \(x\ge 0\) i \(|x|=-x\) dla \(x<0\). Gdy x zbiega do zera z lewej strony, to jesteśmy w tym drugim przypadku (x<0) i dlatego dostajemy w mianowniku -x.
• 

  • Odpowiedz

  K0428 2 lat temu

  Dlaczego w granicy lewostronnej jest minus przy x-sie w mianowniku skoro jest wartość bezwzględna?
• 

  • Odpowiedz

  Sebastian 7 lat temu

  @kaskada9 Dowód nieciągłości funkcji Riemanna przy użyciu definicji Cauchyego znajdzie Pani tutaj. Postaram się w najbliższym czasie zamieścić na stronie dokładny dowód nieciągłości tego typu funkcji. A poniżej zamieszczam szkic dowodu przy użyciu definicji Heinego.
  Funkcja Riemanna jest postaci:\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b},&x=\frac{a}{b},\,a\in\mathbb{Z},\,b\in\mathbb{N}\,\,(x\in\mathbb{Q})\\0,&x\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\end{array}\right.\]\(\mathbb{Q}\) oznacza zbiór liczb wymiernych, natomiast \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) oznacza zbiór liczb niewymiernych.
  Niech \(x_0=\frac{a}{b}\), gdzie \(a\in \mathbb{Z}\) (liczby całkowite), \(b\in\mathbb{N}\) (liczby naturalne), wtedy:\[f(x_0)=\frac{1}{b}\]Niech \(x_n=x_0+\frac{p}{n}\), dla \(p\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) i \(n\in\mathbb{N}\). Zauważmy, że \(x_n\) jest liczbą niewymierną dla każdego \(n\in\mathbb{N}\), ponieważ nie może być przedstawiony w postaci ilorazu \(\frac{a}{b}\). Mamy więc:\(x_n\to x_0\) przy \(n\to\infty\) oraz \[\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)=\lim\limits_{n\to \infty} 0=0\neq \frac{1}{b}=f(x_0)\]Co oznacza, że istnieje taki ciąg \(x_n\) dla którego nie jest spełniony warunek ciągłości w definicji Heinego.
• 

  • Odpowiedz

  kaskada9 7 lat temu

  Proszę o pomoc. Mam znaleźć funkcje która jest ciągła w liczbach niewymiernych a nieciagla w liczbach wymiernych. Wiem ze jest to funkcja riemanna ale nie mam pojęcia jak to udowodnić