Komentarzy (4)

• Imię
• E-mail (niewidoczny)
• Komentarz

WYŚLIJ

• 

  • Odpowiedz

  sebo! 8 lat temu

  @CichyGrzmot Chodzi Panu o coś takiego:\[\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+e^n+\pi^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\pi^n\left[\left(\frac{2}{\pi}\right)^n+\left(\frac{e}{\pi}\right)^n+\left(\frac{\pi}{\pi}\right)^n\right]}=\]\[=\lim\limits_{n\to\infty}\pi\cdot \sqrt[n]{\left(\frac{2}{\pi}\right)^n+\left(\frac{e}{\pi}\right)^n+1}=\pi\cdot \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{2}{\pi}\right)^n+\left(\frac{e}{\pi}\right)^n+1}=\pi\cdot 1=\pi\]ponieważ\[\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{2}{\pi}\right)^n+\left(\frac{e}{\pi}\right)^n+1}=1\]No właśnie, ale dlaczego ta granica jest równa 1? Nie jest to takie oczywiste, bo nie można tak po prostu obliczyć granic wyrażeń pod pierwiastkiem n-tego stopnia (pomijając pierwiastek n-tego stopnia - ważne jest tutaj to, że mamy właśnie pierwiastek n-tego stopnia, gdyby był np. kwadratowy to wtedy można obliczyć granice wyrażeń pod pierwiastkiem, a potem pierwiastek z tego co wyszło).
  Nie jest poprawne rozumowanie, że:\[\left(\frac{2}{\pi}\right)^n\to 0,\,\,\left(\frac{e}{\pi}\right)^n\to 0\]więc\[\sqrt[n]{\left(\frac{2}{\pi}\right)^n+\left(\frac{e}{\pi}\right)^n+1}\to 1.\]Tutaj szczęśliwie wyniki się zgadzają, ale niestety, aby obliczyć powyższą granicę musimy użyć twierdzenia o 3 ciągach:\[1\le \left(\frac{2}{\pi}\right)^n+\left(\frac{e}{\pi}\right)^n+1\le 1+1+1=3\]stąd:\[1=\sqrt[n]{1}\le \sqrt[n]{\left(\frac{2}{\pi}\right)^n+\left(\frac{e}{\pi}\right)^n+1}\le \sqrt[n]{3}\to1\]Ciągi ograniczające zbiegają do 1, więc na mocy twierdzenia o trzech ciągach granica jest równa 1.
  Proszę zobaczyć poniżej przykłady pokazujące, że w granicach typu \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\) lub szerzej \(\lim\limits_{n\to\infty}{(a_n)}^{b_n}\), gdzie \(a_n,\,b_n\) są ciągami liczbowymi, nie można liczyć granicy "w środku" (np. pod pierwiastkiem) pomijając pierwiastek lub potęgę:
  \[\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+n}=\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+n\right)^{\frac{1}{n}}=1\,\,\,\,\textrm{(wynik poprawny)}\]nie możemy obliczyć najpierw granicy wyrażenia pod pierwiastkiem:\[\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{1+n}= +\infty\,\,\,\,\textrm{(źle!)}\]podobnie:\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\,\,\,\,\textrm{(wynik poprawny)}\]tutaj również nie możemy obliczyć najpierw granicy wyrażenia potęgowanego:\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to \infty} 1^n=1\,\,\textrm{(źle!)}\]
  W granicach takich jak w treści zadania, czyli \(\sqrt[n]{a_n+b_n+c_n}\), niestety nie można iść na skróty. Należy stosować twierdzenie o 3 ciągach. Proszę zerknąć tutaj aby zobaczyć jak wygląda ogólny schemat rozwiązywania takich granic (również z użyciem Tw. o 3 ciągach).
• 

  • Odpowiedz

  CichyGrzmot 8 lat temu

  @Sebastian
  Dziękuję za odpowiedź. Chodziło mi jednak o zapis: pierwiastek, a pod nim\[\pi^n\left(\frac{2^n}{\pi^n} + \frac{e^n}{\pi^n} + \frac{\pi^n}{\pi^n}\right).\]Następnie wyciągamy \(\pi\) przed pierwiastek, a granica z pozostałego wyrażenia pod pierwiastkiem =1.
• 

  • Odpowiedz

  sebo! 8 lat temu

  @CichyGrzmot Dziękuję za zauważenie pomyłki (powinno być 3 zamiast 2). Co do Pana pytania, to oczywiście, że można tak zrobić:\[\sqrt[n]{\pi^n+\pi^n+\pi^n}=\sqrt[n]{{\pi}^n\cdot (1+1+1)}=\sqrt[n]{{\pi}^n\cdot 3}=\sqrt[n]{\pi^n}\cdot \sqrt[n]{3}=\pi \cdot \sqrt[n]{3}\]Jeśli będzie Pan miał jeszcze jakieś wątpliwości, to proszę śmiało pytać.
• 

  • Odpowiedz

  CichyGrzmot 8 lat temu

  Na samym końcu 6tej linijki rozwiązania jest błąd, a ja ten fakt wykorzystuję, żeby zapytać, czy można zwyczajnie pod pierwiastkiem wyciągnąć \(\pi^n\) przed nawias, a następnie przed pierwiastek? Wychodzi to samo, ale czy taki zapis jest poprawny?