Start 
Oblicz całkę z funkcji dwóch zmiennych
\[(a)\,\,\int x\cos y\,dx\]
\[(b)\,\,\int x\cos y\,dy\]
Rozwiązanie
(a) Zmienną y (która nie jest zmienną po której całkujemy), a właściwie funkcję \(\cos y\) zależną od zmiennej y traktujemy jak stałą:
\[\int x\cos y\,dx=\cos y\int x\,dx=\cos y\cdot \frac{x^2}{2}+C=\frac{1}{2}x^2\cos y+C\]
(b) Tym razem zmienną x (która nie jest zmienną po której całkujemy) traktujemy jak stałą:
\[\int x\cos y\,dy=x\int \cos y\,dy=x \sin y+C\]
Wskazówki
W rozwiązaniu korzystamy z własności całki funkcji jednej zmiennej (możliwość wyciągnięcia stałej przed całkę):
\[\int a f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\]
W podpunkcie (a) stałą jest \(\cos y\), ponieważ wyrażenie to nie zależy od zmiennej x, a w podpunkcie (b) stałą jest x (nie zależy od zmiennej całkowania y)
W podpunkcie (a) korzystamy też ze wzoru:
\[\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\]
W podpunkcie (b) korzystamy też ze wzoru:
\[\int \cos y\,dy=\sin y+C\]
Komentarzy (0)