Start 
Oblicz całkę krzywoliniową skierowaną daną równaniem funkcyjnym
\[\int\limits_L 2xy\, dx+ x^2 \,dy\]
gdzie L jest łukiem paraboli \(y(x)=x^2\) dla \(x\in[0,1]\).
Rozwiązanie
Skorzystamy z faktu, że jeżeli równanie krzywej L jest dane równaniem \(y=y(x)\) dla \(x\in[a,b]\), to:
\[\int\limits_L P(x,y)\, dx+ Q(x,y) \,dy=\int\limits_a^b [P(x,y(x))+Q(x,y(x))y'(x)]dx\]
stąd:
\[\int\limits_L 2xy\, dx+ x^2 \,dy=\int\limits_0^1 (2x\cdot x^2+ x^2 2x)\,dx=\int\limits_0^1 (2x^3+2x^3)\,dx=\int\limits_0^1 4x^3\,dx=\left [\frac{4}{4}x^4\right]_{x=0}^{x=1}=1-0=1\]
Wskazówki
Jeżeli równanie krzywej L jest dane równaniem \(y=y(x)\) dla \(x\in[a,b]\), to:
\[\int\limits_L P(x,y)\, dx+ Q(x,y) \,dy=\int\limits_a^b [P(x,y(x))+Q(x,y(x))y'(x)]dx\]
Komentarzy (0)