Start 
Oblicz całkę potrójną
\[\iiint \limits_D (x+y+ z)\,dxdydz,\,\,D=\left\{0\le x\le 1,\,0\le y\le 1,\,\,0\le z\le 1\right\}\]
Rozwiązanie
\[\iiint \limits_D (x+ y+ z)\,dxdydz=\int \limits_0^1\left( \int \limits_0^{1} \left(\int\limits_0^{1} (x+ y+ z)\,dz\right)\,dy\right)dx=\]
\[=\int\limits_0^1 \left(\int \limits_0^1\left[xz+yz+\frac{z^2}{2}\right]_{z=0}^{z=1}\,dy\right)\,dx=\int\limits_0^1 \left(\int \limits_0^1\left(x+y+\frac{1}{2}-0\right)\,dy\right)\,dx=\]
\[=\int\limits_0^1 \left(\int \limits_0^1\left(x+y+\frac{1}{2}\right)\,dy\right)\,dx=\int \limits_0^1\left[xy+\frac{y^2}{2}+\frac{1}{2}y\right]_{y=0}^{y=1}\,dx=\int \limits_0^1\left(x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-0\right)\,dx=\]
\[=\int\limits_0^1(x+1)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{x=0}^{x=1}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\]
Wskazówki
- Całkujemy po prostokącie \([a,b]\times[c,d]\times[e,f]\) (gdzie \(a=0,\, b=1,\, c=0,\, d=1,\,e=0,\,f=1\)), więc możemy skorzystać ze wzoru:
\[\iiint \limits_D f(x,y,z)\,dxdydz=\int \limits_a^b\left( \int \limits_c^d \left(\int\limits_e^f f(x,y,z)\,dz\right)\,dy\right)dx\] - Przy liczeniu kolejnych całek traktujemy pozostałe zmienne jako stałe np. przy liczeniu całki po zmiennej "z", zmienne "x" oraz "y" traktujemy jako stałe (liczby).
- korzystamy z podstawowego wzoru na całkę nieoznaczoną:
UWAGA: Powyższy wzór "działa" oczywiście gdy w miejsce x wstawimy y lub z:-)
Co to jest obszar normalny?
Obszar D w przestrzeni \(\mathbb{R}^3\) jest obszarem normalnym względem płaszczyzny xy, gdy jest postaci:
\[D=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\,a\le x\le b,\,c(x)\le y\le d(x),\,\,p(x,y)\le z\le q(x,y)\right\}\]
gdzie \(c(x),\,d(x),\,p(x,y),\,q(x,y)\) są funkcjami ograniczonymi i ciągłymi.
Innymi słowy D jest obszarem normalnym, gdy istnieje obszar normalny \(V\) w \(\mathbb{R}^2\) i funkcje ograniczone i ciągłe \(p(x,y)\) i \(q(x,y)\), takie, że:
\[D=\left\{(x,y)\in V,\,\,p(x,y)\le z\le q(x,y)\right\}\]
UWAGA: Analogicznie można zdefiniować obszary normalne względem innych płaszczyzn tzn. xz i yz.
Ogólny sposób liczenia całek potrójnych po obszarach normalnych
Jeśli chcemy obliczyć całkę potrójną:
\[\iiint \limits_D f(x,y,z)\,dxdydz\]
po obszarze normalnym postaci:
\[D=\left\{a\le x\le b,\,c(x)\le y\le d(x),\,\,p(x,y)\le z\le q(x,y)\right\}\]
to możemy zamienić taką całkę na całkę iterowaną:
\[\iiint \limits_D f(x,y,z)\,dxdydz=\int \limits_a^b\left( \int \limits_{c(x)}^{d(x)} \left(\int\limits_{p(x,y)}^{q(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right)\,dy\right)dx\]
Kolejność całkowania w przypadku obszaru normalnego postaci
\[D=\left\{a\le x\le b,\,c(x)\le y\le d(x),\,\,p(x,y)\le z\le q(x,y)\right\}\]
- całkujemy najpierw po zmiennej z, otrzymujemy funkcję zmiennych x i y
- teraz całkujemy po zmiennej y, otrzymujemy funkcję zmiennej x
- na koniec całkujemy po x i dostaniemy ostateczny wynik całki.
Przejście z całki iterowanej do iloczynu całek pojedyńczych
Jeżeli obszar normalny przyjmuje postać prostopadłościanu, tj:
\[D=\left\{a\le x\le b,\,c\le y\le d,\,\,p\le z\le q\right\}\]
i jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją o rozdzielonych zmiennych, czyli
\[f(x,y,z)=g_1(x)\cdot g_2(y)\cdot g_3(z)\]
wtedy możemy rozdzielić całkę potrójną na iloczyn całek pojedyńczych:
\[\iiint \limits_D f(x,y,z)\,dxdydz=\int \limits_a^b\left( \int \limits_c^d \left(\int\limits_{p}^{q} f(x,y,z)\,dz\right)\,dy\right)dx=\]
\[=\int \limits_a^b g_1(x)\,dx\cdot \int\limits_c^d g_2(y)\,dy\cdot \int \limits_{p}^{q} g_3(z)\,dz\]
Zamiana na całkę podwójną
Jeżeli obszar D jest postaci:
\[D=\left\{(x,y)\in V,\,\,p(x,y)\le z\le q(x,y)\right\}\]
gdzie V jest obszarem normalnym w przestrzeni \(\mathbb{R}^2\) a funkcje \(p(x,y)\) i \(q(x,y)\) są ograniczone i ciągłe, to całkę potrójną możemy zamienić na całkę podwójną:
\[\iiint \limits_D f(x,y,z)\,dxdydz=\iint \limits_V \left(\int\limits_{p(x,y)}^{q(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right)\,dx\,dy\]
Komentarzy (0)