W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz całkę z funkcji dwóch zmiennych

\[(a)\,\,\int x\cos y\,dx\]

\[(b)\,\,\int x\cos y\,dy\]

Rozwiązanie

(a) Zmienną y (która nie jest zmienną po której całkujemy), a właściwie funkcję \(\cos y\) zależną od zmiennej y traktujemy jak stałą:

\[\int x\cos y\,dx=\cos y\int x\,dx=\cos y\cdot \frac{x^2}{2}+C=\frac{1}{2}x^2\cos y+C\]

(b) Tym razem zmienną x (która nie jest zmienną po której całkujemy) traktujemy jak stałą:

\[\int x\cos y\,dy=x\int \cos y\,dy=x \sin y+C\]

 Wskazówki

W rozwiązaniu korzystamy z własności całki funkcji jednej zmiennej (możliwość wyciągnięcia stałej przed całkę):

\[\int a f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\]

 W podpunkcie (a) stałą jest \(\cos y\), ponieważ wyrażenie to nie zależy od zmiennej x, a w podpunkcie (b) stałą jest x (nie zależy od zmiennej całkowania y)

W podpunkcie (a) korzystamy też ze wzoru:

\[\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\]

W podpunkcie (b) korzystamy też ze wzoru:

\[\int \cos y\,dy=\sin y+C\]

Komentarzy (0)