W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz całkę oznaczoną

Całka oznaczona - zad. 3

Rozwiązanie

Obliczenie całki oznaczonej sprowadza się tak naprawdę do obliczenia całki nieoznaczonej i następnie wyliczenie wartości otrzymanych funkcji w granicach całkowania:

Całka oznaczona - zad. 3 - rozwiązanie

 Wskazówki

  1. Korzystamy z własności całki oznaczonej, która polega na tym, że całka sumy dwóch (lub więcej) funkcji jest równa sumie całek każdej funkcji z osobna, dodatkowo stałe możemy wyciągać przed całkę, tzn.
    \(\int (af(x)+bg(x))\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx\),
    gdzie a i b to dowolne stałe (liczby rzeczywiste), f(x) i g(x) o funkcje
    UWAGA: Wspomniane powyżej własności nazywają się fachowo liniowością całki (czyli addytywnością i jednorodnością).
  2. Korzystamy z podstawowego wzoru na całkę nieoznaczoną funkcji elementarnej:
    \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)
    stąd np. \(\int \sqrt[3]{x^2}\,dx=\int x^{\frac{2}{3}}\,dx=\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+c=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+c\)
  3. Pamiętamy o obliczeniu różnic wartości otrzymanych funkcji w punktach równych 0 i 1, zgodnie z definicją całki oznaczonej
    \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\)
    gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), czyli
    \(F(x)=\int f(x)\,dx\)
      

 

Komentarzy (4)

  • Sebastian Orzeł
    @bartgol676 Proszę bardzo :-)
  • bartgol676
    Tak rozbicie na 4 całki, widzę już mój błąd, przeoczyłem kwadrat pod pierwiastkiem trzeciego stopnia, bardzo dziękuję za szybką odpowiedz ! :-)
  • Sebastian Orzeł
    @bartgol676 Ma Pan na myśli rozbicie na 4 całki, prawda? Obliczenia trzeciej całki są wyjaśnione we wskazówkach (2 punkt). Jest to całka oznaczona, więc musimy podstawić granice całkowania (wskazówki - punkt 3) i dopiero wynik jaki uzyskamy mnożymy przez liczbę 3 (która stała przed całką). Widać to w przedostatniej linijce w 3 nawiasie.
  • bartgol676
    Dlaczego po rozbiciu całki na trzy oddzielne całki, w trzeciej całce jest 5/3 a nie 9/4 ?