Rozwiąż równanie:

\[9^x-6^x=4^x,\,\,x\in\mathbb{R}\]

Rozwiązanie

Zauważmy, że:

\[9^x-6^x=4^x/:9^x\]

\[1-\frac{6^x}{9^x}=\frac{4^x}{9^x}\]

\[1-\frac{(2\cdot 3)^x}{(3\cdot 3)^x}=\frac{(2^2)^x}{(3^2)^x}\]

Korzystamy z własności potęg \((a\cdot b)^c=a^c\cdot b^c\) oraz \((a^b)^c=a^{bc}=(a^c)^b\):

\[1-\frac{2^x\cdot 3^x}{3^x\cdot 3^x}=\frac{(2^x)^2}{(3^x)^2}\]

Korzystamy z własności potęg \(\frac{a^c}{b^c}=\left(\frac{a}{b}\right)^c\):

\[1-\frac{2^x}{3^x}=\left(\frac{2^x}{3^x}\right)^2\]

\[1-\left(\frac{2}{3}\right)^x=\left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^2\]

Niech:

\[u=\left(\frac{2}{3}\right)^x\]

wtedy:

\[1-u=u^2\]

\[u^2+u-1=0\]

\[\Delta= b^2-4ac=1+4=5\]

\[\sqrt{\Delta}=\sqrt{5}\]

\[u_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\]

\[u_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\]

Rozpatrzmy dwa przypadki:

\[(1)\,\,\,\left(\frac{2}{3}\right)^x=u_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\]

\[(2)\,\,\,\left(\frac{2}{3}\right)^x=u_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\]

Zauważmy, że:

\[\sqrt{5}>\sqrt{4}=2\]

stąd:

\[u_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}>0\]

\[u_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<0\]

Widać, że w przypadku (2) mamy sprzeczność, ponieważ dla każdego \(x\in\mathbb{R}\):

\[\left(\frac{2}{3}\right)^x>0\]

Rozważmy przypadek (1):

\[\left(\frac{2}{3}\right)^x=u_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}/\,\ln()\]

\[\ln\left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)=\ln\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\]

Korzystamy z własności logarytmów \(\ln(a^b)=b\ln a\):

\[x\ln\left(\frac{2}{3}\right)=\ln\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\]

stąd (z własności logarytmów \(\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b\):):

\[x=\frac{\ln\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)}=\frac{\ln(\sqrt{5}-1)-\ln(2)}{\ln(2)-\ln(3)}\]