W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Zapisz układ równań w postaci macierzowej:

\[\left\{\begin{array}{cccccccccc}2x&+&y&-&z&+&3t&=&1\\-x&+&7y&-&3z&-&5t&=&2\\2x&&&+&9z&-&2t&=&3\\x&+&y&&&+&2t&=&4\end{array}\right.\]

Rozwiązanie

Macierz główna układu zawiera współczynniki liczbowe stojące przy niewiadomych.

Układ ma 4 równania i 4 niewiadome, więc macierz główna układu będzie wymiaru 4x4:

\[A=\left[\begin{array}{cccc}2&1&-1&3\\-1&7& -3&-5\\2&0& 9&-2\\1&1&0&2\end{array}\right]\]

Układ ma 4 niewiadome, więc kolumna niewiadomych będzie postaci:

\[X=\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\t\end{array}\right]\]

Kolumna wyrazów wolnych zawiera liczby stojące po prawej stronie każdego z równań w układzie:

\[B=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right]\]

Postać macierzowa naszego układu równań jest następujuąca:

\[A\cdot X=B\]

\[\left[\begin{array}{cccc}2&1&-1&3\\-1&7& -3&-5\\2&0& 9&-2\\1&1&0&2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right]\]

Wskazówki i teoria

Macierz zawierająca wpsółczynniki występujące przy niewiadomych (bez wyrazów wolnych) nazywa się macierzą współczynników układu.

W ogólnym przypadku, układowi równań:

\[\left\{\begin{array}{ccccccccc}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\\vdots&&\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_m\end{array}\right.\]

można przypisać macierz główną układu zawierającą współczynniki liczbowe występujące przy niewiadomych \(x_1,x_2,...,x_n\):

\[A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\]

Macierz kolumnowa \(X\) niewiadomych:

\[X=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right]\]

Macierz kolumnowa \(B\) wyrazów wolnych:

\[B=\left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{array}\right]\]

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji i całek (analiza matematyczna), macierzy i liczb zespolonych (algebra liniowa), zmiennych losowych i prawdopodobieństwa (rachunek prawdopodobieństwa) itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, a pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, potrzebne definicje i wzory oraz podsumowanie schematów użytych w rozwiązaniu. Często rozwiązanie zadania omówione jest wręcz krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Nauka matematyki na przykładach i konkretnych zadaniach jest najbardziej efektywna - potwierdzają to badania naukowe. Trzeba tylko uczyć się (a właściwie analizować przykłady i rozwiązywać zadania) konsekwentnie i wytrwale, a efekty w postaci lepszego zrozumienia pojęć i schematów oraz umiejętność samodzielnego rozweiązywania podobnych zadań przyjdą same.

    Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem - warto z tej możliwości korzystać, ponieważ na tej stronie nie ma głupich pytań i każde, nawet najgłupsze pytanie znajdzie swoją odpowiedź. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!