W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Rozwiązać równanie różniczkowe

Równania różniczkowe - zad. 1

Rozwiązanie

Jak się okazuje, jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, więc:

Równania różniczkowe - zad. 1 - rozwiązanie

 Wskazówki

  1. Przenosimy "wszystko" poza y' na jedną (prawą) stronę.
  2. Zauważamy, że jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, czyli równanie postaci
    \(y'=f(x)g(y)\), gdzie f(x) jest funkcją zmiennej x, a g(y) jest funkcją y.
  3. Pamiętamy, że w równaniach różniczkowych zawsze \(y'=\frac{dy}{dx}\), tzn. że y jest funkcją x, więc pochodna y jest pochodną "po x-ie".
  4. Przypominamy sobie, że równania o zmiennych rozdzielonych rozwiązuje się poprzez dzielenie obu stron równania przez funkcję g(y) i mnożenie przez dx, a następnie całkuje się obie strony, tzn.
    \(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\)
    \(\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\)
    \(\int\frac{1}{g(y)}\,dy=\int f(x)\,dx\)
  5. Jeśli to możliwe, zapisujemy ostateczny wynik w postaci y=h(x). W zadaniu jest to możliwe, rozwiązanie możemy zapisać w postaci
    \(y(x)=\sqrt{x^2+x+c}\),
    gdzie c jest dowolną stałą rzeczywistą


 UWAGA:
Rozwiązanie równania różniczkowego I-go rzędu nazywa się całką równania, dlatego czasami treść tego typu zadań brzmi: "Scałkować podane równanie różniczkowe..." lub "Znaleźć całkę równania różniczkowego...".

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji i całek (analiza matematyczna), macierzy i liczb zespolonych (algebra liniowa), zmiennych losowych i prawdopodobieństwa (rachunek prawdopodobieństwa) itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, a pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, potrzebne definicje i wzory oraz podsumowanie schematów użytych w rozwiązaniu. Często rozwiązanie zadania omówione jest wręcz krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Nauka matematyki na przykładach i konkretnych zadaniach jest najbardziej efektywna - potwierdzają to badania naukowe. Trzeba tylko uczyć się (a właściwie analizować przykłady i rozwiązywać zadania) konsekwentnie i wytrwale, a efekty w postaci lepszego zrozumienia pojęć i schematów oraz umiejętność samodzielnego rozweiązywania podobnych zadań przyjdą same.

    Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem - warto z tej możliwości korzystać, ponieważ na tej stronie nie ma głupich pytań i każde, nawet najgłupsze pytanie znajdzie swoją odpowiedź. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!