W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Liczby zespolone - zadania z rozwiązaniami

Znajdź wszystkie liczby zespolone \(z\) spełniające równanie

\[z\cdot (1+i)=1\]

Rozwiązanie

Sposób I

Tego typu równania zespolone można rozwiązywać podobnie jak "zwykłe" równania w dziedzinie rzeczywistej.

Dzielimy obie strony równania przez liczbę \(1+i\):

\[z\cdot (1+i)=1\,/\,:(1+i)\]

\[z=\frac{1}{1+i}\]

Wykonujemy dzielenie liczb zespolonych i mamy:

\[z=\frac{1}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\]

\[=\frac{1-i}{1^2-i^2}=\frac{1-i}{1+1}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\]

Odp. Rozwiązaniem naszego równania jest liczba zespolona \(z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\).

Sposób II

Wykorzystamy postać algebraiczną liczby zespolonej:

\[z=x+yi,\,\,x,y\in\mathbb{R}\]

Nasze równanie przybiera postać (szukamy wartości x oraz y):

\[(x+yi)\cdot(1+i)=1\]

Wykonujemy mnożenie:

\[x+xi+yi+yi^2=1\]

\[x+(x+y)i-y=1\]

\[x-y+(x+y)i=1\]

Porównujemy części rzeczywiste i urojone liczb po obu stronach równości i stąd mamy układ równań:

\[\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\x+y=0\end{array}\right.\]

Po dodaniu równań stronami (lub wykonaniu podstawienia) otrzymujemy rozwiązanie:

\[x=\frac{1}{2},\,\,y=-\frac{1}{2}\]

Odp. Rozwiązaniem naszego równania jest liczba zespolona \(z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\).

Wskazówki

Schemat dzielenia liczb zespolonych

Dzielenie liczb zespolonych wykonuje się podobnie jak przy usuwaniu niewymierności z mianownika w przypadku wyrażeń algebraicznych.

Bardzo przydaje się tu następujący wzór skróconego mnożenia \((x+yi)(x-yi)=x^2+y^2\).

Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to:

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2 i}\cdot \frac{x_2-y_2 i}{x_2-y_2 i}=\frac{(x_1+y_1 i)\cdot (x_2-y_2 i)}{x^2_2+y^2_2}=\]

\[=\frac{x_1 x_2-x_1 y_2 i+y_1 x_2 i+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}+\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}i\]

 

Komentarzy (0)


    Jesteś w kategorii Liczby zespolone zadania z rozwiązaniami

    Znajdziesz tutaj przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku z zakresu liczb zespolonych. Działy tematyczne obejmują najprostsze zagadnienia, takie jak działania na liczbach zespolonych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie), metody obliczania modułu i argumentu zespolonego oraz bardziej skompliowane zagadnienia, takie jak potęgowanie liczb zespolonych (wzór de Moivre'a), równania zespolone, metody obliczania pierwiastków zespolonych oraz rysowanie zbiorów na płaszczyźnie zespolonej. Zadania najczęścieij uporządkowane są pod względem rosnącego poziomu trudności.

    Na stronie obliczone.pl będziesz uczyć się liczb zespolonych na przykładach, co pozwoli Ci opanować materiał dużo szybciej i efektywniej. Wystarczy pracować systematycznie i starać się przeanalizować ze zrozumieniem jak najwięcej zadań, warto również rozwiązywać zadania samodzielnie i w razie problemów sięgać po podpowiedź. W przypadku, gdy będziesz mieć problem ze zrozumieniem jakiegoś fragmentu rozwiązania zachęcam do zadawania pytań w komentarzu pod zadaniem. Nawet najbanalniejsze pytanie nie pozostanie bez odpowiedzi. Na koniec nie pozostaje mi nic innego jak tylko życzyć Ci udanej nauki liczb zespolonych i sukcesu na kolokwium, czy też egzaminie. Powodzenia!