W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Na podstawie kilku początkowych wyrazów ciągu znajdź jego wzór ogólny

\[(a_n)=(6,4,2,0,-2,...)\]

Rozwiązanie

Zauważmy, że różnice między kolejnymi wyrazami naszego ciągu liczbowego są stałe i równe -2,

dlatego nasz ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Mamy:

\[a_1=6,\,\,r=-2\]

Stąd:

\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=6+(n-1)\cdot (-2)=6-2n+2=-2n+8\]

Odp. Wyraz ogólny ciągu jest postaci \(a_n=-2n+8\)

Wskazówki

Ciąg arytmetyczny jest ciągiem, którego wyrazy różnią się o stałą liczbę \(r\), którą nazywamy różnicą ciągu.

Oznaczenia:

\(a_n\) - n-ty wyraz ciągu

\(a_1\) - pierwszy wyraz ciągu

\(r\) - różnica ciągu arytmetycznego

Przepis na n-ty wyraz ciągu:

\[a_{n+1}=a_n+r\]

każdy następny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego wyrazu ustalonej liczby \(r\).

Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r=a_k+(n-k)\cdot r\]

Kluczowa własność ciągu arytmetycznego:

\[a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\]

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (n-ta suma):

\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n\]

Ciąg arytmetyczny jest monotoniczny, a dokładniej jest:

  • rosnący, gdy \(r>0\)
  • malejący, gdy \(r<0\)
  • stały, gdy \(r=0\)

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji i całek (analiza matematyczna), macierzy i liczb zespolonych (algebra liniowa), zmiennych losowych i prawdopodobieństwa (rachunek prawdopodobieństwa) itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, a pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, potrzebne definicje i wzory oraz podsumowanie schematów użytych w rozwiązaniu. Często rozwiązanie zadania omówione jest wręcz krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Nauka matematyki na przykładach i konkretnych zadaniach jest najbardziej efektywna - potwierdzają to badania naukowe. Trzeba tylko uczyć się (a właściwie analizować przykłady i rozwiązywać zadania) konsekwentnie i wytrwale, a efekty w postaci lepszego zrozumienia pojęć i schematów oraz umiejętność samodzielnego rozweiązywania podobnych zadań przyjdą same.

    Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem - warto z tej możliwości korzystać, ponieważ na tej stronie nie ma głupich pytań i każde, nawet najgłupsze pytanie znajdzie swoją odpowiedź. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!