W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 30 000 studentów. Dołącz i Ty!

Korzystając z kryterium całkowego zbadaj zbieżność szeregu

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\]

Rozwiązanie

Korzystając z kryterium całkowego wykażemy, że szereg \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\) jest rozbieżny.

Mamy \(a_n=f(n)=\frac{1}{n}\) i funkcja \(f(x)=\frac{1}{x}\) jest malejąca i ciągła w przedziale \([1,+\infty)\), co więcej:

\[\int\limits_1^\infty \frac{1}{x}\,dx=\lim\limits_{T\to \infty}\int\limits_{1}^T \frac{1}{x}\,dx=\lim\limits_{T\to\infty}\big[\ln x\big]_{x=1}^{x=T}=\lim\limits_{T\to \infty}\left(\ln T-\ln 1\right)=+\infty\]

Całka niewłaściwa jest rozbieżna, zatem na mocy kryterium całkowego nasz szereg jest rozbieżny.

 

Wskazówki

Kryterium całkowe

Szereg liczbowy \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\), gdzie \(a_n=f(n)\) i \(f(x)\) jest funkcją malejącą
jest zbieżny (rozbieżny), gdy zbieżna (rozbieżna) jest całka niewłaściwa\[\int\limits_a^\infty f(x)\,dx\]

UWAGA: Dolną granicę całkowania \(a\) wybieramy tak, żeby funkcja \(f(x)\) w przedziale \((a,+\infty)\) była określona (dziedzina funkcji zawiera ten przedział) i nie miała punktów nieciągłości.

Jak sprawdzić, czy szereg liczbowy jest zbieżny?

 Oto metody, które możesz wykorzystać do sprawdzania zbieżności szeregów:

1. Sprawdzenie, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności.

Jeżeli:

\[\lim\limits_{n\to\infty} a_n\neq 0\]

to szereg liczbowy jest rozbieżny (zwróć uwagę, że warunek konieczny pozwala stwierdzić jedynie, czy szereg jest rozbieżny).

2. Obliczenie (gdy to możliwe) granicy ciągu sum częściowych szeregu \(S_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k\).

Szereg jest zbieżny, gdy jego ciąg sum częściowych jest zbieżny, ponieważ:

\[\sum\limits_{k=0}^\infty a_k=\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=0}^n a_k=\lim\limits_{n\to \infty}S_n\]

Gdy uda nam się obliczyć granicę ciągu sum częściowych, to będzie ona równa sumie szeregu.

Gdy granica będzie skończona (równa jakiejś liczbie), to szereg jest zbieżny, gdy granica nie istnieje lub jest równa \(-\infty\) lub \(+\infty\), to szereg jest rozbieżny.

3. Wykorzystanie jednego z kryteriów zbieżności szeregów:

(a) kryterium porównawcze

(b) kryterium ilorazowe

(c) kryterium Cauchy'ego

(d) kryterium d'Alemberta

(e) kryterium całkowe

(f) inne kryteria (m.in. Abela i Dirichleta)

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji i całek (analiza matematyczna), macierzy i liczb zespolonych (algebra liniowa), zmiennych losowych i prawdopodobieństwa (rachunek prawdopodobieństwa) itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, a pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, potrzebne definicje i wzory oraz podsumowanie schematów użytych w rozwiązaniu. Często rozwiązanie zadania omówione jest wręcz krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Nauka matematyki na przykładach i konkretnych zadaniach jest najbardziej efektywna - potwierdzają to badania naukowe. Trzeba tylko uczyć się (a właściwie analizować przykłady i rozwiązywać zadania) konsekwentnie i wytrwale, a efekty w postaci lepszego zrozumienia pojęć i schematów oraz umiejętność samodzielnego rozweiązywania podobnych zadań przyjdą same.

    Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem - warto z tej możliwości korzystać, ponieważ na tej stronie nie ma głupich pytań i każde, nawet najgłupsze pytanie znajdzie swoją odpowiedź. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!