W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Oblicz całkę oznaczoną

Całka oznaczona - zad. 3

Rozwiązanie

Obliczenie całki oznaczonej sprowadza się tak naprawdę do obliczenia całki nieoznaczonej i następnie wyliczenie wartości otrzymanych funkcji w granicach całkowania:

Całka oznaczona - zad. 3 - rozwiązanie

 Wskazówki

  1. Korzystamy z własności całki oznaczonej, która polega na tym, że całka sumy dwóch (lub więcej) funkcji jest równa sumie całek każdej funkcji z osobna, dodatkowo stałe możemy wyciągać przed całkę, tzn.
    \(\int (af(x)+bg(x))\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx\),
    gdzie a i b to dowolne stałe (liczby rzeczywiste), f(x) i g(x) o funkcje
    UWAGA: Wspomniane powyżej własności nazywają się fachowo liniowością całki (czyli addytywnością i jednorodnością).
  2. Korzystamy z podstawowego wzoru na całkę nieoznaczoną funkcji elementarnej:
    \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)
    stąd np. \(\int \sqrt[3]{x^2}\,dx=\int x^{\frac{2}{3}}\,dx=\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+c=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+c\)
  3. Pamiętamy o obliczeniu różnic wartości otrzymanych funkcji w punktach równych 0 i 1, zgodnie z definicją całki oznaczonej
    \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\)
    gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), czyli
    \(F(x)=\int f(x)\,dx\)
      

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji i całek (analiza matematyczna), macierzy i liczb zespolonych (algebra liniowa), zmiennych losowych i prawdopodobieństwa (rachunek prawdopodobieństwa) itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, a pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, potrzebne definicje i wzory oraz podsumowanie schematów użytych w rozwiązaniu. Często rozwiązanie zadania omówione jest wręcz krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Nauka matematyki na przykładach i konkretnych zadaniach jest najbardziej efektywna - potwierdzają to badania naukowe. Trzeba tylko uczyć się (a właściwie analizować przykłady i rozwiązywać zadania) konsekwentnie i wytrwale, a efekty w postaci lepszego zrozumienia pojęć i schematów oraz umiejętność samodzielnego rozweiązywania podobnych zadań przyjdą same.

    Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem - warto z tej możliwości korzystać, ponieważ na tej stronie nie ma głupich pytań i każde, nawet najgłupsze pytanie znajdzie swoją odpowiedź. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!