W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wyprowadź wzór na całkowanie przez podstawienie

\[\int f(g(x))g'(x)\, dx=\int f(t)dt=F(g(x))+c\]

gdzie \(F(x)\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f(x)\).

Rozwiązanie

Mamy:

\[\int f(g(x))g'(x)\, dx=\left|\begin{array}{c}Podstawiamy:\\ g(x)=t\\ g'(x)dx=dt\end{array}\right|=\int f(t)dt=F(t)+c=F(g(x))+c\]

Wskazówki

1. W rozwiązaniu wykorzystujemy wzór wiążący pochodną z różniczką funkcji:

\[g'(x)=\frac{dg(x)}{dx}\]

Po przekształceniu powyższego wzoru i zastosowaniu założenia, że \(g(x)=t\), mamy:

\[g'(x)dx=dg(x)=dt\]

2. W przedostatniej równości wykorzystujemy założenie, że \(F(x)\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f(x)\), co oznacza, że:

\[\int f(t)\,dt=F(t)+c\]

3. W ostatniej równości wracamy z podstawieniem do zmiennej x, ponieważ \(t=g(x)\).

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji i całek (analiza matematyczna), macierzy i liczb zespolonych (algebra liniowa), zmiennych losowych i prawdopodobieństwa (rachunek prawdopodobieństwa) itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, a pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, potrzebne definicje i wzory oraz podsumowanie schematów użytych w rozwiązaniu. Często rozwiązanie zadania omówione jest wręcz krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Nauka matematyki na przykładach i konkretnych zadaniach jest najbardziej efektywna - potwierdzają to badania naukowe. Trzeba tylko uczyć się (a właściwie analizować przykłady i rozwiązywać zadania) konsekwentnie i wytrwale, a efekty w postaci lepszego zrozumienia pojęć i schematów oraz umiejętność samodzielnego rozweiązywania podobnych zadań przyjdą same.

    Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem - warto z tej możliwości korzystać, ponieważ na tej stronie nie ma głupich pytań i każde, nawet najgłupsze pytanie znajdzie swoją odpowiedź. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!