W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wyprowadź wzór na całkowanie przez części

\[\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx\]

Rozwiązanie

Całkowanie przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji. Mamy:

\[(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]

Przenieśmy wyrażenie \(f(x)g'(x)\) na lewą stronę równości (odejmujemy to wyrażenie od obu stron):

\[(f(x)g(x))'-f(x)g'(x)=f'(x)g(x)\]

Całkujemy obie strony równości i mamy:

\[\int (f(x)g(x))'\,dx-\int f(x)g'(x)\,dx=\int f'(x)g(x)\,dx\]

Odwracamy równość (a=b, to to samo, co b=a) oraz stosujemy wzór \(\int (f(x)g(x))'\,dx=f(x)g(x)\), który wynika wprost z definicji całki (operacja odwrotna do różniczkowania):

\[\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx\]

Wskazówki

W rozwiązaniu wykorzystujemy oczywisty fakt:

jeżeli \(f(x)=g(x)\) to \(\int f(x)\,dx=\int g(x)\,dx\).

Zobacz przykłady całkowania przez części.

 

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji i całek (analiza matematyczna), macierzy i liczb zespolonych (algebra liniowa), zmiennych losowych i prawdopodobieństwa (rachunek prawdopodobieństwa) itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, a pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, potrzebne definicje i wzory oraz podsumowanie schematów użytych w rozwiązaniu. Często rozwiązanie zadania omówione jest wręcz krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Nauka matematyki na przykładach i konkretnych zadaniach jest najbardziej efektywna - potwierdzają to badania naukowe. Trzeba tylko uczyć się (a właściwie analizować przykłady i rozwiązywać zadania) konsekwentnie i wytrwale, a efekty w postaci lepszego zrozumienia pojęć i schematów oraz umiejętność samodzielnego rozweiązywania podobnych zadań przyjdą same.

    Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem - warto z tej możliwości korzystać, ponieważ na tej stronie nie ma głupich pytań i każde, nawet najgłupsze pytanie znajdzie swoją odpowiedź. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!