W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru p

\[\left\{\begin{array}{c}px+y=p+1\\4x+py=-3\end{array}\right.\]

Rozwiązanie

Jest to układ równań postaci \(AX=B\), gdzie:

\begin{equation}A=\begin{bmatrix}p&1\\4&p\end{bmatrix},\,\,X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\,\,B=\begin{bmatrix}p+1\\-3\end{bmatrix}\end{equation}

W układzie występuje taka sama liczba równań i niewiadomych (2 równania i 2 niewiadome).

Aby określić liczbę rozwiązań układu równań zastosujemy twierdzenie Kroneckera-Capellego (zobacz wskazówki do zadania).

Potrzebujemy obliczyć rząd macierzy A oraz macierzy rozszerzonej [A|B].

Aby wyznaczyć rząd macierzy A wygodnie jest obliczyć najpierw wyznacznik macierzy A (ponieważ rząd to maksymalny stopień niezerowego minora, a minor to wyznacznik):

\begin{equation}\det A=\det \begin{bmatrix}p&1\\4&p\end{bmatrix}=p^2-4=(p-2)(p+2)\end{equation}

Sprawdzamy dla jakich \(p\in\mathbb{R}\) wyznacznik macierzy A jest różny od zera:

\begin{equation}\det A=(p-2)(p+2)\neq 0\end{equation}

\[p\neq 2,\,\,\,p\neq -2\]

Widzimy więc, że dla \(p\neq -2\) i \(p\neq 2\) maksymalny stopień niezerowego minora to 2 (tym minorem jest cała macierz A, której stopień to 2), dlatego:

\begin{equation}rz A=2\,\,\textrm{dla}\,\,p\neq -2,\,\,p\neq 2\end{equation}

Rząd macierzy rozszerzonej \([A|B]\) dla \(p\neq -2\) i \(p\neq 2\) również jest równy 2 (maksymalny stopień minora jest równy 2, wystarczy wziąć ten sam minor co powyżej):

\begin{equation}rz [A|B]=2\,\,\textrm{dla}\,\,p\neq -2,\,\,p\neq 2\end{equation}

Zatem na mocy Twierdzenia Kroneckera-Capellego układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla \(p\neq -2\) i \(p\neq 2\).

(Zauważ, że dla \(p\neq -2\) i \(p\neq 2\) układ równań jest układem Cramera, co potwierdza, że ma dokładnie jedno rozwiązanie.)

Do określenia liczby rozwiązań dla \(p=-2\) i \(p=2\) również wykorzystamy Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Dla \(p=-2\) liczymy rząd macierzy \(A\) oraz rząd macierzy rozszerzonej \([A|B]\) (w obu przypadkach zastosujemy operację elementarną polegającą na dodaniu do elementów drugiego wiersza macierzy elementów wiersza pierwszego pomnożonych przez 2):

\begin{equation}rz A=rz \begin{bmatrix}-2&1\\4&-2\end{bmatrix}\stackrel{w_2+2w_1}{=}rz \begin{bmatrix}-2&1\\0&0\end{bmatrix}=1\end{equation}

\begin{equation}rz [A|B]=rz \begin{bmatrix}-2&1&-1\\4&-2&-3\end{bmatrix}\stackrel{w_2+2w_1}{=}rz \begin{bmatrix}-2&1&-1\\0&0&-5\end{bmatrix}=2\end{equation}

Dla \(p=2\) liczymy rząd macierzy \(A\) oraz rząd macierzy rozszerzonej \([A|B]\) (w obu przypadkach zastosujemy operację elementarną polegającą na odjęciu od elementów drugiego wiersza macierzy elementów wiersza pierwszego pomnożonych przez 2)

\begin{equation}rz A=rz \begin{bmatrix}2&1\\4&2\end{bmatrix}\stackrel{w_2-2w_1}{=}rz \begin{bmatrix}2&1\\0&0\end{bmatrix}=1\end{equation}

\begin{equation}rz [A|B]=rz \begin{bmatrix}2&1&3\\4&2&-3\end{bmatrix}\stackrel{w_2-2w_1}{=}rz \begin{bmatrix}2&1&3\\0&0&-9\end{bmatrix}=2\end{equation}

Możemy teraz określić liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru p. Na mocy Twierdzenia Kroneckera-Capellego:

1. dla \(p\neq -2\) i \(p\neq 2\) \(rz(A)=rz[A|B]=2\), więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest to układ Cramera)

2. dla \(p= -2\) i \(p= 2\) \(rz(A)=1<2=rz[A|B]\), więc układ jest sprzeczny (nie posiada rozwiązań) (ponieważ \(rzA<rz[A|B]\))

Wskazówki i teoria

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

jest pomocne przy określeniu liczby rozwiązań układu \(n\) równań z \(m\) niewiadomymi  postaci \(AX=B\), gdzie:

  • A jest macierzą główną układu o wymiarze nxm
  • X to kolumna niewiadomych (x,y,z,... lub \(x_1,x_2,...\)) o wymiarze mx1
  • B to kolumna wyrazów wolnych o wymiarze nx1

Twierdzenie K-C mówi, że:

1. Układ równań posiada conajmniej jedno rozwiązanie (jedno lub nieskończenie wiele) w przypadku, gdy rząd macierzy głównej A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|B]:

\[rz(A)=rz[A|B]\]

(a) Układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie, gdy rząd macierzy głównej A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|B] i oba rzędy są równe liczbie niewiadomych w układzie (czyli liczbie \(m\)):

\[rz(A)=rz[A|B]=m\]

(b) Układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań, gdy rząd macierzy głównej A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|B], ale rzędy są mniejszcze niż liczba niewiadomych:

\[rz(A)=rz[A|B]<m\]

UWAGA: W przypadku, gdy \(rz(A)=rz[A|B]=r<m\)  układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \(m-r\) parametrów.

2. Układ równań nie posiada rozwiązań (jest sprzeczny), gdy rząd macierzy głównej A jest mniejszy od rzędu macierzy rozszerzonej [A|B]:

\[rz(A)<rz[A|B]\]

Rząd macierzy

oznaczamy przez \(rz A,\,rz(A)\) lub \(r(A)\) (A jest dowolną macierzą, nie musi być kwadratowa tak jak w przypadku wyznacznika).

Jest to największy możliwy stopień macierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku (taką macierz nazywamy minorem), powstałej z macierzy A poprzez skreślanie jej wierszy i/lub kolumn.

Inaczej rząd macierzy to liczba schodków w macierzy schodkowej.

Do wyznaczenia rzędu macierzy można użyć operacji elementarnych na wierszach.

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    @Klaudia1730 Dziękuję za sugestie, rzeczywiście nie było to takie oczywiste, dlatego dopisałem potrzebne wyjaśnienie.
  • Klaudia1730
    Witam,
    Skąd wiadomo że układ będzie sprzeczny dla 2 i -2? Moim zdaniem należy porównać rzędy macierzy A i uzupełnione U aby wykluczyć że układ będzie nieoznaczony :-\ Przecież jeżeli rząd macierzy U wynosiłby 1 dla któregoś parametru to układ mógłby być nieoznaczony :-/

Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!