W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Zapisz układ równań w postaci macierzowej:

\[\left\{\begin{array}{cccccccccc}2x&+&y&-&z&+&3t&=&1\\-x&+&7y&-&3z&-&5t&=&2\\2x&&&+&9z&-&2t&=&3\\x&+&y&&&+&2t&=&4\end{array}\right.\]

Rozwiązanie

Macierz główna układu zawiera współczynniki liczbowe stojące przy niewiadomych.

Układ ma 4 równania i 4 niewiadome, więc macierz główna układu będzie wymiaru 4x4:

\[A=\left[\begin{array}{cccc}2&1&-1&3\\-1&7& -3&-5\\2&0& 9&-2\\1&1&0&2\end{array}\right]\]

Układ ma 4 niewiadome, więc kolumna niewiadomych będzie postaci:

\[X=\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\t\end{array}\right]\]

Kolumna wyrazów wolnych zawiera liczby stojące po prawej stronie każdego z równań w układzie:

\[B=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right]\]

Postać macierzowa naszego układu równań jest następujuąca:

\[A\cdot X=B\]

\[\left[\begin{array}{cccc}2&1&-1&3\\-1&7& -3&-5\\2&0& 9&-2\\1&1&0&2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right]\]

Wskazówki i teoria

Macierz zawierająca wpsółczynniki występujące przy niewiadomych (bez wyrazów wolnych) nazywa się macierzą współczynników układu.

W ogólnym przypadku, układowi równań:

\[\left\{\begin{array}{ccccccccc}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\\vdots&&\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_m\end{array}\right.\]

można przypisać macierz główną układu zawierającą współczynniki liczbowe występujące przy niewiadomych \(x_1,x_2,...,x_n\):

\[A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\]

Macierz kolumnowa \(X\) niewiadomych:

\[X=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right]\]

Macierz kolumnowa \(B\) wyrazów wolnych:

\[B=\left[\begin{array}{c}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{array}\right]\]

 

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!