W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru p

\[\left\{\begin{array}{c}px+y=p+1\\4x+py=-3\end{array}\right.\]

Rozwiązanie

Jest to układ równań postaci \(AX=B\), gdzie:

\begin{equation}A=\begin{bmatrix}p&1\\4&p\end{bmatrix},\,\,X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\,\,B=\begin{bmatrix}p+1\\-3\end{bmatrix}\end{equation}

W układzie występuje taka sama liczba równań i niewiadomych (2 równania i 2 niewiadome).

Aby określić liczbę rozwiązań układu równań zastosujemy twierdzenie Kroneckera-Capellego (zobacz wskazówki do zadania).

Potrzebujemy obliczyć rząd macierzy A oraz macierzy rozszerzonej [A|B].

Aby wyznaczyć rząd macierzy A wygodnie jest obliczyć najpierw wyznacznik macierzy A (ponieważ rząd to maksymalny stopień niezerowego minora, a minor to wyznacznik):

\begin{equation}\det A=\det \begin{bmatrix}p&1\\4&p\end{bmatrix}=p^2-4=(p-2)(p+2)\end{equation}

Sprawdzamy dla jakich \(p\in\mathbb{R}\) wyznacznik macierzy A jest różny od zera:

\begin{equation}\det A=(p-2)(p+2)\neq 0\end{equation}

\[p\neq 2,\,\,\,p\neq -2\]

Widzimy więc, że dla \(p\neq -2\) i \(p\neq 2\) maksymalny stopień niezerowego minora to 2 (tym minorem jest cała macierz A, której stopień to 2), dlatego:

\begin{equation}rz A=2\,\,\textrm{dla}\,\,p\neq -2,\,\,p\neq 2\end{equation}

Rząd macierzy rozszerzonej \([A|B]\) dla \(p\neq -2\) i \(p\neq 2\) również jest równy 2 (maksymalny stopień minora jest równy 2, wystarczy wziąć ten sam minor co powyżej):

\begin{equation}rz [A|B]=2\,\,\textrm{dla}\,\,p\neq -2,\,\,p\neq 2\end{equation}

Zatem na mocy Twierdzenia Kroneckera-Capellego układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla \(p\neq -2\) i \(p\neq 2\).

(Zauważ, że dla \(p\neq -2\) i \(p\neq 2\) układ równań jest układem Cramera, co potwierdza, że ma dokładnie jedno rozwiązanie.)

Do określenia liczby rozwiązań dla \(p=-2\) i \(p=2\) również wykorzystamy Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Dla \(p=-2\) liczymy rząd macierzy \(A\) oraz rząd macierzy rozszerzonej \([A|B]\) (w obu przypadkach zastosujemy operację elementarną polegającą na dodaniu do elementów drugiego wiersza macierzy elementów wiersza pierwszego pomnożonych przez 2):

\begin{equation}rz A=rz \begin{bmatrix}-2&1\\4&-2\end{bmatrix}\stackrel{w_2+2w_1}{=}rz \begin{bmatrix}-2&1\\0&0\end{bmatrix}=1\end{equation}

\begin{equation}rz [A|B]=rz \begin{bmatrix}-2&1&-1\\4&-2&-3\end{bmatrix}\stackrel{w_2+2w_1}{=}rz \begin{bmatrix}-2&1&-1\\0&0&-5\end{bmatrix}=2\end{equation}

Dla \(p=2\) liczymy rząd macierzy \(A\) oraz rząd macierzy rozszerzonej \([A|B]\) (w obu przypadkach zastosujemy operację elementarną polegającą na odjęciu od elementów drugiego wiersza macierzy elementów wiersza pierwszego pomnożonych przez 2)

\begin{equation}rz A=rz \begin{bmatrix}2&1\\4&2\end{bmatrix}\stackrel{w_2-2w_1}{=}rz \begin{bmatrix}2&1\\0&0\end{bmatrix}=1\end{equation}

\begin{equation}rz [A|B]=rz \begin{bmatrix}2&1&3\\4&2&-3\end{bmatrix}\stackrel{w_2-2w_1}{=}rz \begin{bmatrix}2&1&3\\0&0&-9\end{bmatrix}=2\end{equation}

Możemy teraz określić liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru p. Na mocy Twierdzenia Kroneckera-Capellego:

1. dla \(p\neq -2\) i \(p\neq 2\) \(rz(A)=rz[A|B]=2\), więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest to układ Cramera)

2. dla \(p= -2\) i \(p= 2\) \(rz(A)=1<2=rz[A|B]\), więc układ jest sprzeczny (nie posiada rozwiązań) (ponieważ \(rzA<rz[A|B]\))

Wskazówki i teoria

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

jest pomocne przy określeniu liczby rozwiązań układu \(n\) równań z \(m\) niewiadomymi  postaci \(AX=B\), gdzie:

  • A jest macierzą główną układu o wymiarze nxm
  • X to kolumna niewiadomych (x,y,z,... lub \(x_1,x_2,...\)) o wymiarze mx1
  • B to kolumna wyrazów wolnych o wymiarze nx1

Twierdzenie K-C mówi, że:

1. Układ równań posiada conajmniej jedno rozwiązanie (jedno lub nieskończenie wiele) w przypadku, gdy rząd macierzy głównej A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|B]:

\[rz(A)=rz[A|B]\]

(a) Układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie, gdy rząd macierzy głównej A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|B] i oba rzędy są równe liczbie niewiadomych w układzie (czyli liczbie \(m\)):

\[rz(A)=rz[A|B]=m\]

(b) Układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań, gdy rząd macierzy głównej A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|B], ale rzędy są mniejszcze niż liczba niewiadomych:

\[rz(A)=rz[A|B]<m\]

UWAGA: W przypadku, gdy \(rz(A)=rz[A|B]=r<m\)  układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \(m-r\) parametrów.

2. Układ równań nie posiada rozwiązań (jest sprzeczny), gdy rząd macierzy głównej A jest mniejszy od rzędu macierzy rozszerzonej [A|B]:

\[rz(A)<rz[A|B]\]

Rząd macierzy

oznaczamy przez \(rz A,\,rz(A)\) lub \(r(A)\) (A jest dowolną macierzą, nie musi być kwadratowa tak jak w przypadku wyznacznika).

Jest to największy możliwy stopień macierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku (taką macierz nazywamy minorem), powstałej z macierzy A poprzez skreślanie jej wierszy i/lub kolumn.

Inaczej rząd macierzy to liczba schodków w macierzy schodkowej.

Do wyznaczenia rzędu macierzy można użyć operacji elementarnych na wierszach.

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    @Klaudia1730 Dziękuję za sugestie, rzeczywiście nie było to takie oczywiste, dlatego dopisałem potrzebne wyjaśnienie.
  • Klaudia1730
    Witam,
    Skąd wiadomo że układ będzie sprzeczny dla 2 i -2? Moim zdaniem należy porównać rzędy macierzy A i uzupełnione U aby wykluczyć że układ będzie nieoznaczony :-\ Przecież jeżeli rząd macierzy U wynosiłby 1 dla któregoś parametru to układ mógłby być nieoznaczony :-/