NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa

\[\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&+&3z&=&4\\&& y& +&2z&=&3\\&&&&4z&=&4\end{array}\right.\]

Rozwiązanie

Eliminacja Gaussa polega na stosowaniu operacji elementarnych na wierszach macierzy rozszeżonej \([A|B]\) tak, aby doprowadzić macierz \(A\) po lewej stronie do postaci schodkowej lub jednostkowej:

\[\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\\0&0&4\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}4\\3\\4\end{array}\right]\xrightarrow{\frac{1}{4}w_3}\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}4\\3\\1\end{array}\right]\xrightarrow{w_2-2w_3}\]

\[\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}4\\1\\1\end{array}\right]\xrightarrow{w_1-3w_3}\left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]\xrightarrow{w_1-2w_2}\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}-1\\1\\1\end{array}\right]\]

Otrzymana na końcu macierz opisuje układ równań równoważny wyjściowemu układowi równań:

\[\left\{\begin{array}{c}x=-1\\y=1\\z=1\end{array}\right.\]

Wskazówki i teoria

Kroki rozwiązania:

\[\frac{1}{4}w_3\]

mnożymy wszystkie elementy trzeciego wiersza przez \(\frac{1}{4}\)

\[w_2-2w_3\]

odejmujemy od elementów wiersza drugiego elementy wiersza trzeciego pomnożone przez liczbę 2

\[w_1-3w_3\]

odejmujemy od elementów wiersza pierwszego elementy wiersza trzeciego pomnożone przez liczbę 3

\[w_1-2w_2\]

odejmujemy od elementów wiersza pierwszego elementy wiersza drugiego pomnożone przez liczbę 2

Zapis macierzowy układu równań

Macierz, która opisuje cały układ równań liniowych nazywa się macierzą rozszerzoną układu, natomiast macierz zawierającą tylko wpsółczynniki występujące przy niewiadomych (bez wyrazów wolnych) nazywa się macierzą współczynników układu.

W ogólnym przypadku, układowi równań:

\[\left\{\begin{array}{ccccccccc}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\\vdots&&\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_m\end{array}\right.\]

można przypisać macierz główną układu zawierającą współczynniki liczbowe występujące przy niewiadomych \(x_1,x_2,...,x_n\):

\[A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\]

oraz macierz rozszerzoną zawierającą współczynniki liczbowe występujące przy niewiadomych \(x_1,x_2,...,x_n\) oraz wyrazy wolne \(b_1,b_2,...,b_m\):

\[[A|B]=\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}&b_m\end{array}\right]\]

w równoważnej postaci blokowej możemy tą macierz zapisać tak:

\[[A|B]=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}b_1\\b_2\\ \vdots \\ b_m\end{array}\right]\]

Metoda eliminacji Gaussa

Układ równań postaci:

\[AX=B\]

można rozwiązać za pomocą eliminacji Gaussa, która polega na przekształceniu macierzy \([A|B]\) do macierzy \([A'|B']\) opisującej równoważny wyjściowemu układ równań.

Macierz \(A'\) powinna zawierać w lewym górnym rogu macierz jednostkową i opcjonalnie wiersze złożone z samych zer.

Co więcej:

  • układ będzie sprzeczny, gdy element kolumny \(B'\) odpowiadający wierszowi zerowemu macierzy \(A'\) jest różny od zera
  • układ będzie układem Cramera i będzie miał jedno rozwiązanie, gdy macierz \(A'\) będzie macierzą jednostkową
  • układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli poza macierzą jednostkową w macierzy \(A'\) pozostanie choć jedna kolumna. Liczba dodatkowych kolumn jest równa liczbie parametrów określających rozwiązania układu.

Komentarzy (0)