W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!


W teleturnieju gracz ma wybór między 3 bramkami. W jednej z bramek jest samochód, w pozostałych dwóch są koty w worku. Prowadzący teleturniej wie, w której bramce jest samochód. Gracz wskazuje jedną z bramek, wtedy prowadzący otwiera jedną z pozostałych dwóch bramek, tą w której jest kot w worku. Prowadzący pyta gracza, czy chce zmienić bramkę. Gracz wygrywa, gdy wskaże bramkę, która kryje samochód. Załóżmy, że gracz na początku gry wybrał bramkę nr 1, a prowadzący otworzył bramkę nr 3 z kotem w worku. Czy graczowi opłaca się zmienić wybór i wskazać bramkę nr 2? Uzasadnij odpowiedź obliczając odpowiednie prawdopodobieństwa.

Rozwiązanie

Niech:

  • \(A_i,\,i=1,2,3\) będzie zdarzeniem, że samochód jest w bramce nr \(i\)
  • \(B_i,\,i=1,2,3\) będzie zdarzeniem, że prowadzący otworzył drzwi nr \(i\)

Naszym celem jest obliczenie prawdopodobieństa, że samochód jest w bramce nr 1 pod warunkiem, że prowadzący otworzył bramkę nr 3 oraz prawdopodobieństa, że samochód jest w bramce nr 2 pod warunkiem, że prowadzący otworzył bramkę nr 3:

\[P(A_1|B_3)=?,\,\,\,P(A_2|B_3)=?\]

Aby obliczyć te prawdopodobieństwa możemy skorzystać ze wzorów Bayesa:

\[P(A_1|B_3)=\frac{P(B_3|A_1)P(A_1)}{P(B_3)}\]

\[P(A_2|B_3)=\frac{P(B_3|A_2)P(A_2)}{P(B_3)}\]

Na początek zauważmy, że zdarzenia \(A_i,\,i=1,2,3\) są jednakowo prawdopodobne, więc:

\[P(A_i)=\frac{1}{3}\]

Prawdopodobieństwo otwarcia przez prowadzącego bramki nr 3, pod warunkiem, że samochód jest w bramce nr 3 jest równe 0, ponieważ jest to zdarzenie niemożliwe (bo prowadzący wie, gdzie jest samochód  - nie może otworzyć bramki z samochodem, bo gra niemiałaby sensu):

\[P(B_3|A_3)=0\]

Prawdopodobieństwo otwarcia przez prowadzącego bramki nr 3, pod warunkiem, że samochód jest w bramce nr 2 jest równe 1 (jest to zdarzenie pewne, bo prowadzący wie, gdzie jest samochód i jeśli samochód jest w bramce nr 2, to prowadzący nie ma wyboru i musi otworzyć bramkę nr 3):

\[P(B_3|A_2)=1\]

Prawdopodobieństwo otwarcia przez prowadzącego bramki nr 3, pod warunkiem, że samochód jest w bramce nr 1 (wybranej przez gracza) jest równe \(\frac{1}{2}\), ponieważ prowadzący może otworzyć jedną z 2 bramek, w których są koty w worku (bramka nr 2 lub  nr 3), zakładamy, że zobi to losowo):

\[P(B_3|A_1)=\frac{1}{2}\]

Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy:

\[P(B_3)=\sum\limits_{i=1}^{3} P(B_3|A_i) P(A_i)=P(B_3|A_1) P(A_1)+P(B_3|A_2) P(A_2)+P(B_3|A_3) P(A_3)=\]

\[=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{1}{3}+0=\frac{1}{2}\]

Ostatecznie:

\[P(A_1|B_3)=\frac{P(B_3|A_1)P(A_1)}{P(B_3)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\]

\[P(A_2|B_3)=\frac{P(B_3|A_2)P(A_2)}{P(B_3)}=\frac{1\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\]

Zatem w warunkach opisanych w treści zadania graczowi opłaca się zmienić swoją decyzję i wybrać bramkę nr 2, ponieważ prawdopodobieństwo wygranej (że samochód jest w bramce nr 2 pod warunkiem, że prowadzący otworzył bramkę nr 3) jest wtedy równe \(\frac{2}{3}\), natomiast, gdy gracz pozostanie przy swoim wyborze (bramka nr 1), to prawdopodobieństwo wygranej wynosi tylko \(\frac{1}{3}\).

Wskazówki

Prawdopodobieństwo warunkowe

jest pomocne przy obliczaniu szansy, że dane zdarzenie zajdzie pod warunkiem, że zaszło inne zdarzenie. 

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B oznaczamy przez \(P(A|B)\) i liczymy ze wzoru:

\[P(A|B)=\frac{P(A\cup B)}{P(B)}\]

przy założeniu, że \(P(B)>0\).

Dla zdarzenia B takiego, że \(P(B)=0\) przyjmuje się, że \(P(A|B)=0\).

Jak obliczyć prawdopodobieństwo całkowite?

stosujemy wzór:

\[P(A)=\sum\limits_{k=1}^{n} P(A|B_k) P(B_k)=\]

\[=P(A|B_1) P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n)\]

gdzie ciąg zbiorów parami rozłącznych \(B_k,\,k=1,2,...,n\) takich, że \(P(B_k)>0\) dla każdego \(k=1,2,...,n\), stanowi rozbicie całej przestrzeni zdarzeń elementarnych \(\Omega\), tzn.

\[\Omega= \bigcup\limits_{k=1}^n B_k=B_1\cup B_2\cup ... \cup B_n\]

Wzór Bayesa

jest następujący:

\[P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)},\,\,\,dla\,\,\,k=1,2,...,n\]

gdzie ciąg zbiorów parami rozłącznych \(B_k,\,k=1,2,...,n\) takich, że \(P(B_k)>0\) dla każdego \(k=1,2,...,n\), stanowi rozbicie całej przestrzeni zdarzeń elementarnych \(\Omega\), natomiast \(P(A)>0\).

\(P(A)\) możemy obliczyć korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Komentarzy (0)