W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Z talii 52 kart losowo wybieramy 5. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie karty będą czarne.

Rozwiązanie

Przestrzeń \(\Omega\) zdarzeń elementarnych stanowią 5-elementowe podzbiory zbioru 52 kart.

Liczność zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi:

\[|\Omega|={{52}\choose{5}}\]

Zdarzenie \(A\), którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć, polega na wylosowaniu 5 kart koloru czarnego, czyli 5-elementowego podzbioru zbioru 26 czarnych kart.

\[|A|={{26}\choose{5}}\]

Zatem na mocy klasycznej definicji praprawdopodobieństwa,  szansa wylosowania pięciu kart czarnych jest równe:

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{{26}\choose{5}}{{52}\choose{5}}=\frac{\frac{26!}{5!\cdot 21!}}{\frac{52!}{5!\cdot 47!}}=\]

\[=\frac{22\cdot 23\cdot 24\cdot 25\cdot 26}{5!}\cdot \frac{5!}{48\cdot 49\cdot 50\cdot 51\cdot 52}=\frac{22\cdot 23\cdot 24\cdot \not25\cdot 26}{48\cdot 49\cdot 50\cdot 51\cdot 52}=\]

\[=\frac{22\cdot 23}{2\cdot 49\cdot 2\cdot 51\cdot 2}=\frac{11\cdot 23}{4\cdot 49\cdot 51}=\frac{253}{9996}\approx 0,025\]

Odp.  Prawdopodobieństwo wylosowania 5 kart czarnych z talii 52 kart jest równe \(\frac{253}{9996}\)

Wskazówki

 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

\(\Omega\) - przestrzeń zdarzeń elementarnych (o takim samym prawdopodobieństwie)

\(|\Omega|\) - liczba zdarzeń elementarnych w zbiorze \(\Omega\)  (liczność przestrzeni zdarzeń elementarnych)

\(A\) - zdarzenie losowe stanowiące podzbiór zbioru \(\Omega\), czyli \(A\subseteq \Omega\)

\(|A|\) - liczba zdarzeń elementarnych w zbiorze \(A\)  (liczność zbioru \(A\))

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\) liczymy ze wzoru:

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\]

Wyjaśnienie: prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\) jest równe ilorazowi liczności zbioru \(A\) przez liczność całej przestrzeni zdarzeń elementarnych \(\Omega\).

Komentarzy (0)