W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Znaleźć całkę równania różniczkowego

\[y'=y-1\]

Rozwiązanie

UWAGA: "Znaleźć całkę równania różniczkowego" oznacza, że musimy to równanie po prostu rozwiązać, czyli znaleźć taką funkcję y(x), która spełnia równanie różniczkowe (po wstawieniu do równania otrzymamy tożsamość, L=P). 

Sposób 1 - Metoda rozdzielonych zmiennych

Jak się okazuje, nasze równanie różniczkowe jest równaniem o rozdzielonych zmiennych (patrz wskazówki do zadania):

\[(1)\,\,\,\frac{dy}{dx}=y-1\,/\,\cdot dx\]

\[dy=(y-1)dx\,/\,:(y-1)\]

\[\frac{dy}{y-1}=dx\]

\[\int \frac{dy}{y-1}=\int\,1\, dx\]

\[\ln|y-1|=x+c_1\]

\[(2)\,\,\,e^{\ln|y-1|}=e^{x+c_1}\]

\[|y-1|=e^{x}\cdot e^{c_1}\]

\[y-1=\pm e^{c_1}\cdot e^{x}\]

\[(3)\,\,\,\pm e^{c_1}=c\]

\[y-1= c e^{x}\]

\[y= c e^{x}+1\]

Sposób 2 - Rozwiązanie przy użyciu transformaty Laplace'a

Zapisujemy równanie różniczkowe w równoważnej postaci:

\[y'-y+1=0\]

Działamy transformatą Laplace'a na lewą i prawą stronę równania różniczkowego:

\[L[y'(x)-y(x)+1](s)=L[0](s)\]

Z addystywności transformaty Laplace'a, mamy:

\[L[y'(x)](s)-L[y(x)](s)+L[1](s)=L[0](s)\]

Pondato (korzystamy z tablic transformaty Laplace'a):

\[L[0](s)=0\]

\[L[1](s)=\frac{1}{s}\]

\[L[y'(x)](s)=sL[y(x)](s)-y(0)\]

Stąd równanie jest postaci:

\[sL[y(x)](s)-y(0)-L[y(x)](s)+\frac{1}{s}=0\]

Wprowadzamy oznaczenie:

\[L[y(x)](s)=F(s)\]

Wtedy nasze równanie jest postaci:

\[sF(s)-y(0)-F(s)+\frac{1}{s}=0\]

Stąd:

\[F(s)\cdot (s-1)-y(0)+\frac{1}{s}=0\]

\[F(s)\cdot (s-1)=y(0)-\frac{1}{s}\]

\[F(s)=\left(y(0)-\frac{1}{s}\right)\cdot \frac{1}{s-1}\]

\[F(s)=\frac{y(0)}{s-1}-\frac{1}{s(s-1)}\]

Rozkładamy prawą stronę na ułamki proste:

\[\frac{1}{s(s-1)}=\frac{-1}{s}+\frac{1}{s-1}\]

stąd:

\[F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s-1}+\frac{y(0)}{s-1}=\frac{1}{s}+\frac{y(0)-1}{s-1}\]

Możemy teraz dokonać transformacji odwrotnej (korzystamy addytywności oraz liniowości transformaty oraz z tablic TL):

\[y(t)=L^{-1}[F(s)](t)=L^{-1}\left[\frac{1}{s}+\frac{y(0)-1}{s-1}\right](t)=\]\[=L^{-1}\left[\frac{1}{s}\right](t)+(y(0)-1)\cdot L^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right](t)=1+(y(0)-1)e^{x}\]

Powyżej skorzystaliśmy ze wzoru (z tablic TL):

\[L\left[e^{ax}\right](s)=\frac{1}{s-a}\]

stąd:

\[L^{-1}\left[\frac{1}{s-a}\right](x)=e^{ax}\]

Dla \(a=1\) mamy:

\[L^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right](x)=e^{x}\]

Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania różniczkowego z zadanymi warunkami początkowymi jest:

\[y(x)=(y(0)-1)e^{x}+1=ce^x+1\]

(powyżej przyjmujemy \(c=y(0)-1\))

Wskazówki

Sposób 1

W równaniach różniczkowych często stosuje się skrótowy zapis, np.:

\[y'=y-1\]

należy rozumieć jako:

\[y'(x)=y(x)-1\]

czyli \(y=y(x)\) jest funkcją zmiennej x.

Ponadto:

\[y'=y'(x)=\frac{dy}{dx}\]

tzn. że pochodna y jest pochodną "po x-ie".

1. Zauważamy, że jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, czyli równanie postaci:

\[y'=f(x)\cdot g(y),\]

gdzie f(x) jest funkcją zmiennej x, a g(y) jest funkcją y.

Przypominamy sobie, że równania o zmiennych rozdzielonych rozwiązuje się poprzez dzielenie obu stron równania przez funkcję g(y) i mnożenie przez dx, a następnie całkuje się obie strony, tzn.

\[\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)\]

\[\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\]

\[\int\frac{1}{g(y)}\,dy=\int f(x)\,dx\]

2. Nakładamy funkcję eksponencjalną na obie strony równania:

\[\ln|y-1|=x+c_1\]

dzięki temu mamy:

\[e^{\ln|y-1|}=e^{x+c_1}=e^x\cdot e^{c_1}\]

\(e^y\) jest funkcją odwrotną do \(\ln y\), więc \(|y-1|=e^x\cdot e^{c_1}\).

3. Stosujemy podstawienie \(c=\pm e^{c_1}\), które pozwala nam uprościć zapis (zastępujemy stałą \(e^{c_1}\) stałą \(c\)).

Sposób 2

Transformata Laplaca

\[F(s)=L[f(x)](s)=\int\limits_{0}^\infty e^{-sx}f(x)dx\]

Własności transformaty Laplace'a:

(Addytywność i liniowość)

\[L[a_1 f_1(x)+a_2f_2(x)+...+a_n f_n(x)](s)=a_1L[f_1(x)](s)+a_2L[f_2(x)](s)+...+a_n L[f_n(x)](s)\]

\[L[0](s)=0\]

\[L[1](s)=\frac{1}{s}\]

\[L\left[e^{ax}\right](s)=\frac{1}{s-a}\]

(transformata pochodnej funkcji)

\[L[f'(x)](s)=sL[f(x)](s)-f(0)=sF(s)-f(0)\]

Schemat rozwiązywania równań I-go rzędu za pomocą transformaty Laplace'a:

Mamy do rozwiązania równanie różniczkowe I-go rzędu o stałych współczynnikach:

\[ay'(x)+by(x)+c=0\]

Dokonujemy transformacji (Laplace'a) obu stron równania:

\[L[a y'(x)+by(x)+c](s)=L[0][s]\]

Z addytywności i liniowości transformaty Laplace'a:

\[a\cdot L[y(x)](s)+b\cdot L[y(x)](s)+c\cdot L[1](s)=0\]

Z własności transformaty Laplace'a (z tablic TL):

\[a\big(s L[y(x)](s)-y(0)\big)+bL[y(x)](s)+\frac{c}{s}=0\]

Niech:

\[L[y(x)](s)=F(s)\]

wtedy:

\[F(s)(as+b)-ay(0)+\frac{c}{s}=0\]

\[F(s)(as+b)=ay(0)-\frac{c}{s}\]

\[F(s)=(ay(0)-\frac{c}{s})\cdot \frac{1}{as+b}\]

\[F(s)=\frac{ay(0)}{as+b}-\frac{c}{s(as+b)}=\frac{y(0)}{s+\frac{b}{a}}-\frac{c}{s(as+b)}\]

Następnie rozkładamy prawą stronę równości na ułamki proste:

\[\frac{c}{s(as+b)}=\frac{c_1}{s}+\frac{c_3}{s+\frac{b}{a}}\]

stąd:

\[F(s)=\frac{c_1}{s}+\frac{y(0)+c_3}{s+\frac{b}{a}}\]

 Teraz dokonujemy transformacji odwrotnej otrzymując rozwiązanie równania różniczkowego:

\[y(x)=c_1+(y(0)+c_3)e^{\frac{b}{a}x}=c_1+c_2e^{\frac{b}{a}x}\]

Sprawdzenie poprawności obliczeń

Podstawiamy rozwiązanie (otrzymaną funkcję \(y(x)\)) do równania różniczkowego i sprawdzamy, czy lewa strona jest równa prawej.

\[y'(x)=(ce^x+1)'=ce^x\]

\[y(x)-1=ce^x+1-1=ce^x\]

\[y'(x)=ce^x=y(x)-1\]

L=P

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!