W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Rozwiązać równanie różniczkowe

Równania różniczkowe - zad. 1

Rozwiązanie

Jak się okazuje, jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, więc:

Równania różniczkowe - zad. 1 - rozwiązanie

 Wskazówki

  1. Przenosimy "wszystko" poza y' na jedną (prawą) stronę.
  2. Zauważamy, że jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, czyli równanie postaci
    \(y'=f(x)g(y)\), gdzie f(x) jest funkcją zmiennej x, a g(y) jest funkcją y.
  3. Pamiętamy, że w równaniach różniczkowych zawsze \(y'=\frac{dy}{dx}\), tzn. że y jest funkcją x, więc pochodna y jest pochodną "po x-ie".
  4. Przypominamy sobie, że równania o zmiennych rozdzielonych rozwiązuje się poprzez dzielenie obu stron równania przez funkcję g(y) i mnożenie przez dx, a następnie całkuje się obie strony, tzn.
    \(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\)
    \(\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\)
    \(\int\frac{1}{g(y)}\,dy=\int f(x)\,dx\)
  5. Jeśli to możliwe, zapisujemy ostateczny wynik w postaci y=h(x). W zadaniu jest to możliwe, rozwiązanie możemy zapisać w postaci
    \(y(x)=\sqrt{x^2+x+c}\),
    gdzie c jest dowolną stałą rzeczywistą


 UWAGA:
Rozwiązanie równania różniczkowego I-go rzędu nazywa się całką równania, dlatego czasami treść tego typu zadań brzmi: "Scałkować podane równanie różniczkowe..." lub "Znaleźć całkę równania różniczkowego...".

Komentarzy (0)


    Na tej stronie znajdziesz około tysiąca zadań z rozwiązaniami i przykładów krok po kroku głównie z zakresu matematyki wyższej, jak również z matematyki na poziomie liceum. Zadania podzielone są na działy tematyczne zazwyczaj według przedmiotów i tematów wymaganych na studiach, np. zadania z pochodnych funkcji, całek, macierzy, liczb zespolonych itd.

    W każdej kategorii znajdziesz zadania o różnym poziomie trudności, pod każdym zadaniem znajdziesz wiele wskazówek jak przebiega rozwiązanie, często rozwiązanie omówione jest krok po kroku. Warto starać się samodzielnie rozwiązać jak najwięcej zadań znajdujących się na stronie, ponieważ są tu zebrane typowe zadania z kolokwiów i egzaminów z polskich uczelni. Pamiętaj, że zawsze masz możliwość zadania pytania w komentarzu pod każdym zadaniem. Powodzenia w zrozumieniu matematyki!