W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Znaleźć całkę równania różniczkowego

\[y'=y-1\]

Rozwiązanie

UWAGA: "Znaleźć całkę równania różniczkowego" oznacza, że musimy to równanie po prostu rozwiązać, czyli znaleźć taką funkcję y(x), która spełnia równanie różniczkowe (po wstawieniu do równania otrzymamy tożsamość, L=P). 

Sposób 1 - Metoda rozdzielonych zmiennych

Jak się okazuje, nasze równanie różniczkowe jest równaniem o rozdzielonych zmiennych (patrz wskazówki do zadania):

\[(1)\,\,\,\frac{dy}{dx}=y-1\,/\,\cdot dx\]

\[dy=(y-1)dx\,/\,:(y-1)\]

\[\frac{dy}{y-1}=dx\]

\[\int \frac{dy}{y-1}=\int\,1\, dx\]

\[\ln|y-1|=x+c_1\]

\[(2)\,\,\,e^{\ln|y-1|}=e^{x+c_1}\]

\[|y-1|=e^{x}\cdot e^{c_1}\]

\[y-1=\pm e^{c_1}\cdot e^{x}\]

\[(3)\,\,\,\pm e^{c_1}=c\]

\[y-1= c e^{x}\]

\[y= c e^{x}+1\]

Sposób 2 - Rozwiązanie przy użyciu transformaty Laplace'a

Zapisujemy równanie różniczkowe w równoważnej postaci:

\[y'-y+1=0\]

Działamy transformatą Laplace'a na lewą i prawą stronę równania różniczkowego:

\[L[y'(x)-y(x)+1](s)=L[0](s)\]

Z addystywności transformaty Laplace'a, mamy:

\[L[y'(x)](s)-L[y(x)](s)+L[1](s)=L[0](s)\]

Pondato (korzystamy z tablic transformaty Laplace'a):

\[L[0](s)=0\]

\[L[1](s)=\frac{1}{s}\]

\[L[y'(x)](s)=sL[y(x)](s)-y(0)\]

Stąd równanie jest postaci:

\[sL[y(x)](s)-y(0)-L[y(x)](s)+\frac{1}{s}=0\]

Wprowadzamy oznaczenie:

\[L[y(x)](s)=F(s)\]

Wtedy nasze równanie jest postaci:

\[sF(s)-y(0)-F(s)+\frac{1}{s}=0\]

Stąd:

\[F(s)\cdot (s-1)-y(0)+\frac{1}{s}=0\]

\[F(s)\cdot (s-1)=y(0)-\frac{1}{s}\]

\[F(s)=\left(y(0)-\frac{1}{s}\right)\cdot \frac{1}{s-1}\]

\[F(s)=\frac{y(0)}{s-1}-\frac{1}{s(s-1)}\]

Rozkładamy prawą stronę na ułamki proste:

\[\frac{1}{s(s-1)}=\frac{-1}{s}+\frac{1}{s-1}\]

stąd:

\[F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s-1}+\frac{y(0)}{s-1}=\frac{1}{s}+\frac{y(0)-1}{s-1}\]

Możemy teraz dokonać transformacji odwrotnej (korzystamy addytywności oraz liniowości transformaty oraz z tablic TL):

\[y(t)=L^{-1}[F(s)](t)=L^{-1}\left[\frac{1}{s}+\frac{y(0)-1}{s-1}\right](t)=\]\[=L^{-1}\left[\frac{1}{s}\right](t)+(y(0)-1)\cdot L^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right](t)=1+(y(0)-1)e^{x}\]

Powyżej skorzystaliśmy ze wzoru (z tablic TL):

\[L\left[e^{ax}\right](s)=\frac{1}{s-a}\]

stąd:

\[L^{-1}\left[\frac{1}{s-a}\right](x)=e^{ax}\]

Dla \(a=1\) mamy:

\[L^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right](x)=e^{x}\]

Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania różniczkowego z zadanymi warunkami początkowymi jest:

\[y(x)=(y(0)-1)e^{x}+1=ce^x+1\]

(powyżej przyjmujemy \(c=y(0)-1\))

Wskazówki

Sposób 1

W równaniach różniczkowych często stosuje się skrótowy zapis, np.:

\[y'=y-1\]

należy rozumieć jako:

\[y'(x)=y(x)-1\]

czyli \(y=y(x)\) jest funkcją zmiennej x.

Ponadto:

\[y'=y'(x)=\frac{dy}{dx}\]

tzn. że pochodna y jest pochodną "po x-ie".

1. Zauważamy, że jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, czyli równanie postaci:

\[y'=f(x)\cdot g(y),\]

gdzie f(x) jest funkcją zmiennej x, a g(y) jest funkcją y.

Przypominamy sobie, że równania o zmiennych rozdzielonych rozwiązuje się poprzez dzielenie obu stron równania przez funkcję g(y) i mnożenie przez dx, a następnie całkuje się obie strony, tzn.

\[\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)\]

\[\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\]

\[\int\frac{1}{g(y)}\,dy=\int f(x)\,dx\]

2. Nakładamy funkcję eksponencjalną na obie strony równania:

\[\ln|y-1|=x+c_1\]

dzięki temu mamy:

\[e^{\ln|y-1|}=e^{x+c_1}=e^x\cdot e^{c_1}\]

\(e^y\) jest funkcją odwrotną do \(\ln y\), więc \(|y-1|=e^x\cdot e^{c_1}\).

3. Stosujemy podstawienie \(c=\pm e^{c_1}\), które pozwala nam uprościć zapis (zastępujemy stałą \(e^{c_1}\) stałą \(c\)).

Sposób 2

Transformata Laplaca

\[F(s)=L[f(x)](s)=\int\limits_{0}^\infty e^{-sx}f(x)dx\]

Własności transformaty Laplace'a:

(Addytywność i liniowość)

\[L[a_1 f_1(x)+a_2f_2(x)+...+a_n f_n(x)](s)=a_1L[f_1(x)](s)+a_2L[f_2(x)](s)+...+a_n L[f_n(x)](s)\]

\[L[0](s)=0\]

\[L[1](s)=\frac{1}{s}\]

\[L\left[e^{ax}\right](s)=\frac{1}{s-a}\]

(transformata pochodnej funkcji)

\[L[f'(x)](s)=sL[f(x)](s)-f(0)=sF(s)-f(0)\]

Schemat rozwiązywania równań I-go rzędu za pomocą transformaty Laplace'a:

Mamy do rozwiązania równanie różniczkowe I-go rzędu o stałych współczynnikach:

\[ay'(x)+by(x)+c=0\]

Dokonujemy transformacji (Laplace'a) obu stron równania:

\[L[a y'(x)+by(x)+c](s)=L[0][s]\]

Z addytywności i liniowości transformaty Laplace'a:

\[a\cdot L[y(x)](s)+b\cdot L[y(x)](s)+c\cdot L[1](s)=0\]

Z własności transformaty Laplace'a (z tablic TL):

\[a\big(s L[y(x)](s)-y(0)\big)+bL[y(x)](s)+\frac{c}{s}=0\]

Niech:

\[L[y(x)](s)=F(s)\]

wtedy:

\[F(s)(as+b)-ay(0)+\frac{c}{s}=0\]

\[F(s)(as+b)=ay(0)-\frac{c}{s}\]

\[F(s)=(ay(0)-\frac{c}{s})\cdot \frac{1}{as+b}\]

\[F(s)=\frac{ay(0)}{as+b}-\frac{c}{s(as+b)}=\frac{y(0)}{s+\frac{b}{a}}-\frac{c}{s(as+b)}\]

Następnie rozkładamy prawą stronę równości na ułamki proste:

\[\frac{c}{s(as+b)}=\frac{c_1}{s}+\frac{c_3}{s+\frac{b}{a}}\]

stąd:

\[F(s)=\frac{c_1}{s}+\frac{y(0)+c_3}{s+\frac{b}{a}}\]

 Teraz dokonujemy transformacji odwrotnej otrzymując rozwiązanie równania różniczkowego:

\[y(x)=c_1+(y(0)+c_3)e^{\frac{b}{a}x}=c_1+c_2e^{\frac{b}{a}x}\]

Sprawdzenie poprawności obliczeń

Podstawiamy rozwiązanie (otrzymaną funkcję \(y(x)\)) do równania różniczkowego i sprawdzamy, czy lewa strona jest równa prawej.

\[y'(x)=(ce^x+1)'=ce^x\]

\[y(x)-1=ce^x+1-1=ce^x\]

\[y'(x)=ce^x=y(x)-1\]

L=P

Komentarzy (0)