W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Znaleźć całkę równania różniczkowego

Równania różniczkowe - zad. 20

Rozwiązanie

"Znaleźć całkę równania różniczkowego" oznacza, że musimy to równanie po prostu rozwiązać, czyli znaleźć taką funkcję y(x), która spełnia równanie różniczkowe (po wstawieniu do równania otrzymamy tożsamość, L=P). 

Jak się okazuje, nasze równanie różniczkowe jest równaniem o rozdzielonych zmiennych:

Równania różniczkowe - zad. 20 - rozwiązanie

 Wskazówki

  1. W równaniach różniczkowych skrótowy zapis \(y'=y-1\)
    należy rozumieć jako \(y(x)'=y(x)-1\), czyli \(y=y(x)\) jest funkcją zmiennej x.
    Ponadto \(y'=\frac{dy}{dx}\), tzn. że pochodna y jest pochodną "po x-ie".
    Zauważamy, że jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, czyli równanie postaci
    \(y'=f(x)g(y)\), gdzie f(x) jest funkcją zmiennej x, a g(y) jest funkcją y.
    Przypominamy sobie, że równania o zmiennych rozdzielonych rozwiązuje się poprzez dzielenie obu stron równania przez funkcję g(y) i mnożenie przez dx, a następnie całkuje się obie strony, tzn.
    \(\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\)
    \(\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\)
    \(\int\frac{1}{g(y)}\,dy=\int f(x)\,dx\)
    Nakładamy funkcję eksponencjalną na obie strony równania
    \(\ln|y-1|=x+c_1\)
    ,
    dzięki temu mamy
    \(e^{\ln|y-1|}=e^{x+c_1}=e^x\cdot e^{c_1}\)
    \(e^y\)
    jest funkcją odwrotną do \(\ln y\), więc
    \(|y-1|=e^x\cdot e^{c_1}\)
  2. Niech \(c=\pm e^{c_1}\), wtedy możemy pozbyć się modułu po lewej stronie
    \(y-1=ce^x\)
    \(y=ce^x+1\)

 

Komentarzy (0)