W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Macierze i wyznaczniki - zadania z rozwiązaniami

Wyznacz wartości i wektory własne macierzy stopnia 4

\[A=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{array}\right]\]

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie charakterystyczne (wielomian charakterystyczny), z którego obliczymy wartości własne:

\[\det(A-\lambda\cdot I)=0\]

stąd otrzymujemy:

\[\det\left[\begin{array}{cccc}1-\lambda&0&0&0\\0&2-\lambda&0&0\\0&0&3-\lambda&0\\0&0&0&4-\lambda\end{array}\right]=0\]

Wyznacznik macierzy diagonalnej liczymy mnożąc przez siebie elementy stojące na głównej przekątnej:

\[\det(A-\lambda\cdot I)=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)(4-\lambda)=0\]

stąd:

\[\lambda_1=1,\,\,\lambda_2=2,\,\,\lambda_3=3,\,\,\lambda_4=4\]

Liczymy wektory własne odpowiadające wyznaczonym wyżej wartościom własnym.

Skorzystamy z równania:

\[(*)\,\,\,\,A\vec{v}=\lambda\cdot \vec{v}\]

Niech \(\vec{v}=[x_1,x_2,x_3,x_4]^T\), wtedy:

\[A\vec{v}=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_1\\2x_2\\3x_3\\4x_4\end{array}\right]\]

natomiast:

\[\lambda\cdot \vec{v}=\lambda \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda x_1\\\lambda x_2\\\lambda x_3\\\lambda x_4\end{array}\right]\]

 stąd równanie \((*)\), dla \(\lambda_1=1\) ma postać:

\[\left[\begin{array}{c}x_1\\2x_2\\3x_3\\4x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right]\]

z równości macierzy mamy:

\[x_1\in\mathbb{R},\,\,x_2=x_3=x_4=0\]

Zatem wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda_1=1\) jest wektor:

\[v_1=\left[\begin{array}{c}x_1\\0\\0\\0\end{array}\right],\,\,\,x_1\in\mathbb{R}\]

możemy przyjąć \(x_1=1\), wtedy:

\[v_1=\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right]\]

Dla \(\lambda_2=2\) równanie \((*)\) ma postać:

\[\left[\begin{array}{c}x_1\\2x_2\\3x_3\\4x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x_1\\2x_2\\2x_3\\2x_4\end{array}\right]\]

z równości macierzy mamy:

\[x_2\in\mathbb{R},\,\,x_1=x_3=x_4=0\]

Zatem wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda_2=2\) jest wektor:

\[v_2=\left[\begin{array}{c}0\\x_2\\0\\0\end{array}\right],\,\,\,x_2\in\mathbb{R}\]

możemy przyjąć \(x_2=1\), wtedy:

\[v_2=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right]\]

Dla \(\lambda_3=3\) równanie \((*)\) ma postać:

\[\left[\begin{array}{c}x_1\\2x_2\\3x_3\\4x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x_1\\3x_2\\3x_3\\3x_4\end{array}\right]\]

z równości macierzy mamy:

\[x_3\in\mathbb{R},\,\,x_1=x_2=x_4=0\]

Zatem wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda_3=3\) jest wektor:

\[v_3=\left[\begin{array}{c}0\\0\\x_3\\0\end{array}\right],\,\,\,x_3\in\mathbb{R}\]

możemy przyjąć \(x_3=1\), wtedy:

\[v_3=\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right]\]

Dla \(\lambda_4=4\) równanie \((*)\) ma postać:

\[\left[\begin{array}{c}x_1\\2x_2\\3x_3\\4x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4x_1\\4x_2\\4x_3\\4x_4\end{array}\right]\]

z równości macierzy mamy:

\[x_4\in\mathbb{R},\,\,x_1=x_2=x_3=0\]

Zatem wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda_4=4\) jest wektor:

\[v_4=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\x_4\end{array}\right],\,\,\,x_4\in\mathbb{R}\]

możemy przyjąć \(x_4=1\), wtedy:

\[v_4=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right]\]

Wskazówki

Jak liczyć wartości i wektory własne macierzy A?

1. Rozwiąż równanie charakterystyczne - znajdź pierwiastki wielomianu charakterystycznego:

\[\det(A-\lambda I)=0\]

gdzie \(I\) jest macierzą jednostkową i \(\lambda\) jest niewiadomą.

Rozwiązania (pierwiastki) są szukanymi wartościami własnymi.

2. Dla każdej ze znalezionych wartości własnych rozwiąż równanie:

\[A\vec{v}=\lambda\cdot \vec{v}\]

gdzie \(\vec{v}=[x_1,x_2,...,x_n]^T\) jest szukanym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\lambda\).

Komentarzy (0)


    Jesteś w kategorii Macierze zadania z rozwiązaniami

    W dziele "Macierze i wyznaczniki" masz do dyspozycji kilkadziesiąt przykładów i zadań z pełnymi rozwiązaniami z zakresu macierzy. Działy tematyczne obejmują najprostsze zagadnienia, takie jak działania na macierzach (transponowanie, dodawanie i odejmowanie, mnożenie macierzy), jak również trudniejsze tematy (liczenie wyznacznika, macierzy odwrotnej i rzędu macierzy) oraz zagadnienia, które są wymagane tylko na niektórych kierunkach studiów tj. wartości i wektory własne. Zadania w każdym dziale najczęściej uporządkowane są pod względem rosnącego poziomu trudności.

    Niestety, nauka macierzy i wyznaczników (jak zresztą całej matematyki) jest jak domino, musisz dobrze opanować podstawowe zagadnienia, żeby móc opanować trudniejszy materiał, np. aby obliczyć macierz odwrotną musisz umieć liczyć wyznacznik macierzy oraz wykonywać transponowanie macierzy, aby liczyć wyznacznik musisz znać operacje elementarne na wierszach itd.

    Warto próbować samodzielnie rozwiązać jak największą liczbę zadań z macierzy i sięgać do rozwiązań zamieszczonych na stronie jedynie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku. Pod każdym zadaniem masz możliwość zadania pytania w komentarzu, warto z tej możliwości korzystać, ponieważ nie ma głupich pytań i na tej stronie żadne pytanie nie pozostanie bez odpowiedzi. Zachęcam do systematycznej nauki macierzy na przykładach, która przynosi zdecydowanie najlepsze efekty. Powodzenia w nauce macierzy!