W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Podaj wszystkie minory macierzy

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\1&0\end{bmatrix}\]

Następnie określ rząd macierzy A.

Rozwiązanie

Minor to wyznacznik macierzy powstałej przez skreślanie wierszy i/lub kolumn macierzy.

Skreślamy pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę i dostajemy następujący minor:

\[A_{11}=|0|=0\]

Po skreśleniu pierwszego wiersza i drugiej kolumny dostajemy następujący minor:

\[A_{12}=|1|=1\]

Po skreśleniu drugiego wiersza i pierwszej kolumny dostajemy następujący minor:

\[A_{21}=|2|=2\]

Po skreśleniu drugiego wiersza i drugiej kolumny dostajemy następujący minor:

\[A_{22}=|1|=1\]

Nie skreślając żadnych wierszy i kolumn otrzymamy minor główny równy wyznacznikowi macierzy A:

\[|A|=\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=0-2=-2\]

Maksymalny stopień niezerowego minora macierzy A jest równy 2, więc rząd macierzy A wynosi 2:

\[rzA=2\]

Wskazówki

Równoważne definicje rzędu macierzy:

  1. Rząd macierzy jest równy liczbie schodków w macierzy schodkowej (do postaci schodkowej można doprowadzić macierz poprzez wykonywanie operacji elementarnych na wierszach i kolumnach)
  2. Rząd macierzy jest równy maksymalnemu stopniowi niezerowego minora macierzy (minor to wyznacznik macierzy powstałej przez skreślanie wierszy i/lub kolumn macierzy)
  3. Rząd macierzy jest równy maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wektorów tworzących wiersze (kolumny) macierzy

Własności rzędu macierzy:

  1. Jeżeli A jest macierzą wymiaru \(n\times m\), to \(0 \le rzA\le\min\{n,m\}\)
  2. \(rzA=0\Leftrightarrow A=0\)
  3. Operacje elementarne na wierszach i/lub kolumnach nie zmieniają rzędu macierzy

Operacje elementarne, które nie zmieniają rzędu macierzy:

  1. zamiana wierszy (kolumn) między sobą (\(w_{i}\leftrightarrow w_{j}\));
  2. dodanie do elementów dowolnego wiersza (kolumny) odpowiadających im elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez dowolną liczbę (\(w_{i}+c\cdot w_{j}\));
  3. mnożenie całego wiersza (kolumny) przez dowolną liczbę różną od zera (\(c\cdot w_{i}\)).  

Komentarzy (0)