W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Macierze i wyznaczniki - zadania z rozwiązaniami

Korzystając z definicji równości macierzy rozwiąż równanie macierzowe (znajdź a i b)

\[\begin{bmatrix} a & -2 & 1+a \\ b+1 & 0 & 1\\ a+b & 1 &b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & a-b& b-1\\ b+1 & a+b& b\\0&1&-a \end{bmatrix}\]

Rozwiązanie

Korzystając z definicji równości macierzy wystarczy porównać współczynniki o tych samych współrzędnych w obu macierzach, stąd:

Porównując elementy stojące w pierwszym wierszu obu macierzy, mamy

\[a=a,\,\,-2=a-b,\,\,1+a=b-1\]

Porównując elementy stojące w drugim wierszu obu macierzy, mamy

\[b+1=b+1,\,\,0=a+b,\,\,1=b\]

Porównując elementy stojące w trzecim wierszu obu macierzy, mamy

\[a+b=0,\,\,1=1,\,\,b=-a\]

Aby znaleźć a i b wykorzystajmy tylko dwie równości (pozostałe są tożsamościami lub są kombinacjami poniższych równań):

\[b=1,\,\,b=-a\]

Stąd otrzymujemy ostatecznie:

\[a=-1,\,\,\,b=1\]

UWAGA: Gdyby którekolwiek z otrzymanych równań było sprzeczne, bądź otrzymany układ równań (w którym a i b są niewiadomymi) byłby sprzeczny, to odpowiedź do zadania brzmiałaby "Równanie macierzowe jest sprzeczne (nie istnieją takie liczby a i b)"

Wskazówki

Macierze A i B są sobie równe tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

  1. Wymiary macierzy A i B są takie same (jeżeli A jest wymiaru mxn, to B też musi być wymiaru mxn)
  2. Wszystkie elementy występujące na tych samych współrzędnych w macierzach A i B są takie same (identyczne), tzn.\[a_{ij}=b_{ij}\,\,\, dla\,\,\, i=1,2,...,m,\,\,\,j=1,2,...,n\]

Kliknij i naucz się podstaw macierzy i wyznaczników

Komentarzy (0)


    Jesteś w kategorii Macierze zadania z rozwiązaniami

    W dziele "Macierze i wyznaczniki" masz do dyspozycji kilkadziesiąt przykładów i zadań z pełnymi rozwiązaniami z zakresu macierzy. Działy tematyczne obejmują najprostsze zagadnienia, takie jak działania na macierzach (transponowanie, dodawanie i odejmowanie, mnożenie macierzy), jak również trudniejsze tematy (liczenie wyznacznika, macierzy odwrotnej i rzędu macierzy) oraz zagadnienia, które są wymagane tylko na niektórych kierunkach studiów tj. wartości i wektory własne. Zadania w każdym dziale najczęściej uporządkowane są pod względem rosnącego poziomu trudności.

    Niestety, nauka macierzy i wyznaczników (jak zresztą całej matematyki) jest jak domino, musisz dobrze opanować podstawowe zagadnienia, żeby móc opanować trudniejszy materiał, np. aby obliczyć macierz odwrotną musisz umieć liczyć wyznacznik macierzy oraz wykonywać transponowanie macierzy, aby liczyć wyznacznik musisz znać operacje elementarne na wierszach itd.

    Warto próbować samodzielnie rozwiązać jak największą liczbę zadań z macierzy i sięgać do rozwiązań zamieszczonych na stronie jedynie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku. Pod każdym zadaniem masz możliwość zadania pytania w komentarzu, warto z tej możliwości korzystać, ponieważ nie ma głupich pytań i na tej stronie żadne pytanie nie pozostanie bez odpowiedzi. Zachęcam do systematycznej nauki macierzy na przykładach, która przynosi zdecydowanie najlepsze efekty. Powodzenia w nauce macierzy!