W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Macierze i wyznaczniki - zadania z rozwiązaniami

Korzystając z definicji równości macierzy rozwiąż równanie macierzowe (znajdź a i b)

\[\begin{bmatrix} a & -2 & 1+a \\ b+1 & 0 & 1\\ a+b & 1 &b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & a-b& b-1\\ b+1 & a+b& b\\0&1&-a \end{bmatrix}\]

Rozwiązanie

Korzystając z definicji równości macierzy wystarczy porównać współczynniki o tych samych współrzędnych w obu macierzach, stąd:

Porównując elementy stojące w pierwszym wierszu obu macierzy, mamy

\[a=a,\,\,-2=a-b,\,\,1+a=b-1\]

Porównując elementy stojące w drugim wierszu obu macierzy, mamy

\[b+1=b+1,\,\,0=a+b,\,\,1=b\]

Porównując elementy stojące w trzecim wierszu obu macierzy, mamy

\[a+b=0,\,\,1=1,\,\,b=-a\]

Aby znaleźć a i b wykorzystajmy tylko dwie równości (pozostałe są tożsamościami lub są kombinacjami poniższych równań):

\[b=1,\,\,b=-a\]

Stąd otrzymujemy ostatecznie:

\[a=-1,\,\,\,b=1\]

UWAGA: Gdyby którekolwiek z otrzymanych równań było sprzeczne, bądź otrzymany układ równań (w którym a i b są niewiadomymi) byłby sprzeczny, to odpowiedź do zadania brzmiałaby "Równanie macierzowe jest sprzeczne (nie istnieją takie liczby a i b)"

Wskazówki

Macierze A i B są sobie równe tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

  1. Wymiary macierzy A i B są takie same (jeżeli A jest wymiaru mxn, to B też musi być wymiaru mxn)
  2. Wszystkie elementy występujące na tych samych współrzędnych w macierzach A i B są takie same (identyczne), tzn.\[a_{ij}=b_{ij}\,\,\, dla\,\,\, i=1,2,...,m,\,\,\,j=1,2,...,n\]

Kliknij i naucz się podstaw macierzy i wyznaczników

Komentarzy (0)