Korzystając z definicji równości macierzy rozwiąż równanie macierzowe (znajdź a i b)
\[\begin{bmatrix} a & -2 & 1+a \\ b+1 & 0 & 1\\ a+b & 1 &b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & a-b& b-1\\ b+1 & a+b& b\\0&1&-a \end{bmatrix}\]
Rozwiązanie
Korzystając z definicji równości macierzy wystarczy porównać współczynniki o tych samych współrzędnych w obu macierzach, stąd:
Porównując elementy stojące w pierwszym wierszu obu macierzy, mamy
\[a=a,\,\,-2=a-b,\,\,1+a=b-1\]
Porównując elementy stojące w drugim wierszu obu macierzy, mamy
\[b+1=b+1,\,\,0=a+b,\,\,1=b\]
Porównując elementy stojące w trzecim wierszu obu macierzy, mamy
\[a+b=0,\,\,1=1,\,\,b=-a\]
Aby znaleźć a i b wykorzystajmy tylko dwie równości (pozostałe są tożsamościami lub są kombinacjami poniższych równań):
\[b=1,\,\,b=-a\]
Stąd otrzymujemy ostatecznie:
\[a=-1,\,\,\,b=1\]
UWAGA: Gdyby którekolwiek z otrzymanych równań było sprzeczne, bądź otrzymany układ równań (w którym a i b są niewiadomymi) byłby sprzeczny, to odpowiedź do zadania brzmiałaby "Równanie macierzowe jest sprzeczne (nie istnieją takie liczby a i b)"
Wskazówki
Macierze A i B są sobie równe tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:
- Wymiary macierzy A i B są takie same (jeżeli A jest wymiaru mxn, to B też musi być wymiaru mxn)
- Wszystkie elementy występujące na tych samych współrzędnych w macierzach A i B są takie same (identyczne), tzn.\[a_{ij}=b_{ij}\,\,\, dla\,\,\, i=1,2,...,m,\,\,\,j=1,2,...,n\]
Kliknij i naucz się podstaw macierzy i wyznaczników
Komentarzy (0)