W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Macierze i wyznaczniki - zadania z rozwiązaniami

Wykonaj działania na macierzach

\[\left(\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right]^T-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]\]

Rozwiązanie

\[\left(\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right]^T-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]\stackrel{(1)}{=}\]\[=\left(\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]\stackrel{(2)}{=}\]\[=\left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]\stackrel{(3)}{=}\left[\begin{array}{ccc}2&-2&-1\\-1& 4&-1\end{array}\right]\]

 

Wskazówki

1. Wykonujemy transponowanie macierzy:

\[\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&2\end{array}\right]\]

2. Wykonujemy odejmowanie macierzy:

\[\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&2\end{array}\right]\]

Obliczenia pomocnicze:

1-0=1

1-2=-1

0-(-1)=1

2-0=2

3. Wykonujemy mnożenie macierzy:

\[\left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)&1\cdot 0+(-1)\cdot 2&1\cdot (-1)+(-1)\cdot 0\\1\cdot 1+2\cdot (-1)&1\cdot 0+2\cdot 2&1\cdot (-1)+2\cdot 0\end{array}\right]\]

Transpozycja macierzy

Jeżeli \(A=[a_{ij}],\,\,i=1,2,\ldots,m,\,\,j=1,2,\ldots,n\), to \( A^T=[a_{ji}],\,\,j=1,2,\ldots,n,\,\,i=1,2,\ldots,m\) (zamieniamy wiersze z kolumnami).

Zapamiętaj, że jeżeli macierz \(A\) jest wymiaru mxn to macierz transponowana \(A^T\) będzie wymiaru nxm.

Schemat transponowania macierzy:

\[\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{a_{\color{red}{11}}}&\color{red}{a_{\color{red}12}}&\ldots&\color{red}{a_{\color{red}1n}}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{a_{\color{red}11}}&a_{21}&\ldots&a_{n1}\\\color{red}{a_{\color{red}12}}&a_{22}&\ldots&a_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\color{red}{a_{\color{red}1m}}&a_{2m}&\ldots&a_{nm}\end{array}\right]\]

Dodawanie/Odejmowanie macierzy

Schemat dodawania i odejmowania macierzy (dodajemy/odejmujemy odpowiadające sobie elementy obu macierzy, czyli elementy stojące na tych samych pozycjach w obu macierzach):

\[\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\pm\left[\begin{array}{cccc}b_{11}&b_{12}&\ldots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\ldots&b_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}\pm b_{11}&a_{12}\pm b_{12}&\ldots&a_{1n}\pm b_{1n}\\a_{21}\pm b_{21}&a_{22}\pm b_{22}&\ldots&a_{2n}\pm b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}\pm b_{m1}&a_{m2}\pm b_{m2}&\ldots&a_{mn}\pm b_{mn}\end{array}\right]\]

Iloczyn macierzy

Mnożenie macierzy jest operacją zupełnie inną niż mnożenie zwykłych liczb. Można mnożyć tylko macierze A i B, takie, że liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Wynikiem mnożenia macierzy A wymiaru mxn przez macierz B wymiaru nxk jest macierz C wymiaru mxk, tj. jeżeli \(A_{m\times n}\), \(B_{n\times k}\), to \(A_{m\times n}\cdot B_{n\times k}=C_{m\times k}\).

Elementy \(c_{ij}\) macierzy C oblicza się ze wzoru:

\[c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\ldots+a_{im}\cdot b_{mj}\]

Dla przykładu element macierzy C leżący w drugim wierszu i pierwszej kolumnie otrzymamy mnożąc i dodając kolejne elementy z drugiego wiersza macierzy A i pierwszej kolumny macierzy B:

\[c_{21}=a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+\ldots+a_{2m}\cdot b_{m1}\]

 

Komentarzy (4)

  • Sebastian Orzeł
    @Kordian Przykład jest policzony bezbłędnie, proszę jeszcze raz na spokojnie spróbować wykonać odejmowanie macierzy i następnie mnożenie.
  • Kordian
    0-(-1)=1 a nie -1 przykład jest źle
  • Sebastian Orzeł
    @Terixer Dzień dobry, ma Pan na myśli krok (3) rozwiązania?
    Proszę zauważyć, że liczba kolumn macierzy A (pierwszej macierzy w iloczynie) wynosi 2 i liczba wierszy macierzy B (drugiej macierzy w iloczynie) również wynosi 2.
    Zatem warunek jest spełniony i można wykonać mnożenie.
    Pozdrawiam serdecznie i dziękuję za pytanie
  • Terixer
    Witam,
    Czy przypadkiem w tym przykładzie nie ma błędu ?
    Jasno powiedziane jest że " liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. "
    A tutaj autor pomnożył macierze mimo nie spełnienia tego warunku.
    Pozdrawiam,
    Kamil

Jesteś w kategorii Macierze zadania z rozwiązaniami

W dziele "Macierze i wyznaczniki" masz do dyspozycji kilkadziesiąt przykładów i zadań z pełnymi rozwiązaniami z zakresu macierzy. Działy tematyczne obejmują najprostsze zagadnienia, takie jak działania na macierzach (transponowanie, dodawanie i odejmowanie, mnożenie macierzy), jak również trudniejsze tematy (liczenie wyznacznika, macierzy odwrotnej i rzędu macierzy) oraz zagadnienia, które są wymagane tylko na niektórych kierunkach studiów tj. wartości i wektory własne. Zadania w każdym dziale najczęściej uporządkowane są pod względem rosnącego poziomu trudności.

Niestety, nauka macierzy i wyznaczników (jak zresztą całej matematyki) jest jak domino, musisz dobrze opanować podstawowe zagadnienia, żeby móc opanować trudniejszy materiał, np. aby obliczyć macierz odwrotną musisz umieć liczyć wyznacznik macierzy oraz wykonywać transponowanie macierzy, aby liczyć wyznacznik musisz znać operacje elementarne na wierszach itd.

Warto próbować samodzielnie rozwiązać jak największą liczbę zadań z macierzy i sięgać do rozwiązań zamieszczonych na stronie jedynie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku. Pod każdym zadaniem masz możliwość zadania pytania w komentarzu, warto z tej możliwości korzystać, ponieważ nie ma głupich pytań i na tej stronie żadne pytanie nie pozostanie bez odpowiedzi. Zachęcam do systematycznej nauki macierzy na przykładach, która przynosi zdecydowanie najlepsze efekty. Powodzenia w nauce macierzy!