W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Macierze i wyznaczniki - zadania z rozwiązaniami

Wykonaj działania na macierzach

\[\left(\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right]^T-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]\]

Rozwiązanie

\[\left(\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right]^T-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]\stackrel{(1)}{=}\]\[=\left(\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]\stackrel{(2)}{=}\]\[=\left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]\stackrel{(3)}{=}\left[\begin{array}{ccc}2&-2&-1\\-1& 4&-1\end{array}\right]\]

 

Wskazówki

1. Wykonujemy transponowanie macierzy:

\[\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&2\end{array}\right]\]

2. Wykonujemy odejmowanie macierzy:

\[\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0&2\\-1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&2\end{array}\right]\]

Obliczenia pomocnicze:

1-0=1

1-2=-1

0-(-1)=1

2-0=2

3. Wykonujemy mnożenie macierzy:

\[\left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\-1& 2&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)&1\cdot 0+(-1)\cdot 2&1\cdot (-1)+(-1)\cdot 0\\1\cdot 1+2\cdot (-1)&1\cdot 0+2\cdot 2&1\cdot (-1)+2\cdot 0\end{array}\right]\]

Transpozycja macierzy

Jeżeli \(A=[a_{ij}],\,\,i=1,2,\ldots,m,\,\,j=1,2,\ldots,n\), to \( A^T=[a_{ji}],\,\,j=1,2,\ldots,n,\,\,i=1,2,\ldots,m\) (zamieniamy wiersze z kolumnami).

Zapamiętaj, że jeżeli macierz \(A\) jest wymiaru mxn to macierz transponowana \(A^T\) będzie wymiaru nxm.

Schemat transponowania macierzy:

\[\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{a_{\color{red}{11}}}&\color{red}{a_{\color{red}12}}&\ldots&\color{red}{a_{\color{red}1n}}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{cccc}\color{red}{a_{\color{red}11}}&a_{21}&\ldots&a_{n1}\\\color{red}{a_{\color{red}12}}&a_{22}&\ldots&a_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\color{red}{a_{\color{red}1m}}&a_{2m}&\ldots&a_{nm}\end{array}\right]\]

Dodawanie/Odejmowanie macierzy

Schemat dodawania i odejmowania macierzy (dodajemy/odejmujemy odpowiadające sobie elementy obu macierzy, czyli elementy stojące na tych samych pozycjach w obu macierzach):

\[\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\right]\pm\left[\begin{array}{cccc}b_{11}&b_{12}&\ldots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\ldots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\ldots&b_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}\pm b_{11}&a_{12}\pm b_{12}&\ldots&a_{1n}\pm b_{1n}\\a_{21}\pm b_{21}&a_{22}\pm b_{22}&\ldots&a_{2n}\pm b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}\pm b_{m1}&a_{m2}\pm b_{m2}&\ldots&a_{mn}\pm b_{mn}\end{array}\right]\]

Iloczyn macierzy

Mnożenie macierzy jest operacją zupełnie inną niż mnożenie zwykłych liczb. Można mnożyć tylko macierze A i B, takie, że liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Wynikiem mnożenia macierzy A wymiaru mxn przez macierz B wymiaru nxk jest macierz C wymiaru mxk, tj. jeżeli \(A_{m\times n}\), \(B_{n\times k}\), to \(A_{m\times n}\cdot B_{n\times k}=C_{m\times k}\).

Elementy \(c_{ij}\) macierzy C oblicza się ze wzoru:

\[c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\ldots+a_{im}\cdot b_{mj}\]

Dla przykładu element macierzy C leżący w drugim wierszu i pierwszej kolumnie otrzymamy mnożąc i dodając kolejne elementy z drugiego wiersza macierzy A i pierwszej kolumny macierzy B:

\[c_{21}=a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+\ldots+a_{2m}\cdot b_{m1}\]

 

Komentarzy (4)

  • sebo!
    @Kordian Przykład jest policzony bezbłędnie, proszę jeszcze raz na spokojnie spróbować wykonać odejmowanie macierzy i następnie mnożenie.
  • Kordian
    0-(-1)=1 a nie -1 przykład jest źle
  • sebo!
    @Terixer Dzień dobry, ma Pan na myśli krok (3) rozwiązania?
    Proszę zauważyć, że liczba kolumn macierzy A (pierwszej macierzy w iloczynie) wynosi 2 i liczba wierszy macierzy B (drugiej macierzy w iloczynie) również wynosi 2.
    Zatem warunek jest spełniony i można wykonać mnożenie.
    Pozdrawiam serdecznie i dziękuję za pytanie
  • Terixer
    Witam,
    Czy przypadkiem w tym przykładzie nie ma błędu ?
    Jasno powiedziane jest że " liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. "
    A tutaj autor pomnożył macierze mimo nie spełnienia tego warunku.
    Pozdrawiam,
    Kamil