W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Macierze i wyznaczniki - zadania z rozwiązaniami

Wykonaj mnożenie macierzy

\[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix},\,\,\,B=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

Rozwiązanie

Iloczyn macierzy jest wykonalny, ponieważ macierz A posiada 3 kolumny, a macierz B ma 3 wiersze, zatem liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Macierz wynikowa C będzie wymiaru 2x2, ponieważ liczba wierszy macierzy A to 2 oraz liczba kolumn macierzy B to też 2, dlatego:

\[A\cdot B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} =C= \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ \end{bmatrix}\]

Obliczmy teraz kolejne elementy macierzy C zgodnie ze wzorem na elementy macierzy powstałej w wyniku mnożenia macierzy (czyli \(c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\ldots+a_{im}\cdot b_{mj}\)):

\[c_{11}=a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}=1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1=5\]

\[c_{12}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}=1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0=1\]

\[c_{21}=a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}=-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1=4\]

\[c_{22}=a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}=-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0=2\]

Podsumowując, iloczyn macierzy A i B będzie następujący:

\[A\cdot B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ (-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}\]

 

Wskazówki

Można mnożyć tylko macierze A i B, takie, że liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Wynikiem mnożenia macierzy A wymiaru mxn przez macierz B wymiaru nxk jest macierz C wymiaru mxk, tj. jeżeli \(A_{m\times n}\), \(B_{n\times k}\), to \(A_{m\times n}\cdot B_{n\times k}=C_{m\times k}\).

Elementy \(c_{ij}\) macierzy C oblicza się ze wzoru:

\[c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\ldots+a_{im}\cdot b_{mj}\]

Zapamiętaj ważne własności mnożenia macierzy

Jeżeli macierze A, B i C są macierzami odpowiednich wymiarów (tak aby działania poniżej były wykonalne), \(a,b\) są liczbami rzeczywistymi, \(0\) to macierz zerowa a \(I\) to macierz jednostkowa, to:
\[\textrm{zwykle:}\,\,\,AB\neq BA\]\[\textrm{potęgowanie macierzy:}\,\,\,A^n=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots\cdot A}_{n\,\,\textrm{razy}}\]\[A(B+C)=AB+AC\]\[(A+B)C=AC+BC\]\[A\cdot 0=0\cdot A=0\]\[I\cdot A=A\cdot I=A\]\[A(aB)=(aA)B\]\[A(BC)=(AB)C\]

 

Komentarzy (0)


    Jesteś w kategorii Macierze zadania z rozwiązaniami

    W dziele "Macierze i wyznaczniki" masz do dyspozycji kilkadziesiąt przykładów i zadań z pełnymi rozwiązaniami z zakresu macierzy. Działy tematyczne obejmują najprostsze zagadnienia, takie jak działania na macierzach (transponowanie, dodawanie i odejmowanie, mnożenie macierzy), jak również trudniejsze tematy (liczenie wyznacznika, macierzy odwrotnej i rzędu macierzy) oraz zagadnienia, które są wymagane tylko na niektórych kierunkach studiów tj. wartości i wektory własne. Zadania w każdym dziale najczęściej uporządkowane są pod względem rosnącego poziomu trudności.

    Niestety, nauka macierzy i wyznaczników (jak zresztą całej matematyki) jest jak domino, musisz dobrze opanować podstawowe zagadnienia, żeby móc opanować trudniejszy materiał, np. aby obliczyć macierz odwrotną musisz umieć liczyć wyznacznik macierzy oraz wykonywać transponowanie macierzy, aby liczyć wyznacznik musisz znać operacje elementarne na wierszach itd.

    Warto próbować samodzielnie rozwiązać jak największą liczbę zadań z macierzy i sięgać do rozwiązań zamieszczonych na stronie jedynie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku. Pod każdym zadaniem masz możliwość zadania pytania w komentarzu, warto z tej możliwości korzystać, ponieważ nie ma głupich pytań i na tej stronie żadne pytanie nie pozostanie bez odpowiedzi. Zachęcam do systematycznej nauki macierzy na przykładach, która przynosi zdecydowanie najlepsze efekty. Powodzenia w nauce macierzy!