W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Macierze i wyznaczniki - zadania z rozwiązaniami

Korzystając z własności transponowania macierzy uzasadnij, że

\((A-B)^T=A^T-B^T\)

Rozwiązanie

Wykorzystamy własności transponowania macierzy \((A+B)^T=A^T+B^T\) i \((aB)^T=aB^T\), dla \(a\in\mathbb{R}\), stąd:

\[(A-B)^T=(A+(-1)B)^T=A^T+[(-1)B]^T=A^T-B^T\]

Wskazówki

  1. Korzystamy z faktu, że \(A-B=A+(-1)B\)
  2. Korzystamy z własności transpozycji \((A+B)^T=A^T+B^T\) i \((aB)^T=aB^T\), dla \(a\in\mathbb{R}\)

Własności transpozycji macierzy

  • \((A+B)^T=A^T+B^T\) - transpozycja sumy macierzy jest równa sumie macierzy transponowanych
  • \((aA)^T=aA^T\), dla \(a\in\mathbb{R}\) - transpozycja macierzy przemnożonej przez liczbę daje macierz transponowaną przemnożoną przez liczbę
  • \((A^T)^T=A\) - podwójna transpozycja daje macierz wyjściową
  • \((A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T\) - transponowanie iloczynu macierzy jest równe iloczynowi w odwróconej kolejności macierzy transponowanych
  • \(\det(A)=\det(A^T)\) - transponowanie nie zmienia wyznacznika macierzy
  • \(tr(A)=tr(A^T)\) - transponowanie nie zmienia śladu macierzy

 

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    @gorkalez Dziękuję, błąd poprawiony.
  • gorkalez
    tr to ślad macierzy, zatem w własnościach powinno być raczej napisane: \(tr(A)=tr(A^T)\) - transponowanie nie zmienia ŚLADU macierzy (ostatni wiersz)

Jesteś w kategorii Macierze zadania z rozwiązaniami

W dziele "Macierze i wyznaczniki" masz do dyspozycji kilkadziesiąt przykładów i zadań z pełnymi rozwiązaniami z zakresu macierzy. Działy tematyczne obejmują najprostsze zagadnienia, takie jak działania na macierzach (transponowanie, dodawanie i odejmowanie, mnożenie macierzy), jak również trudniejsze tematy (liczenie wyznacznika, macierzy odwrotnej i rzędu macierzy) oraz zagadnienia, które są wymagane tylko na niektórych kierunkach studiów tj. wartości i wektory własne. Zadania w każdym dziale najczęściej uporządkowane są pod względem rosnącego poziomu trudności.

Niestety, nauka macierzy i wyznaczników (jak zresztą całej matematyki) jest jak domino, musisz dobrze opanować podstawowe zagadnienia, żeby móc opanować trudniejszy materiał, np. aby obliczyć macierz odwrotną musisz umieć liczyć wyznacznik macierzy oraz wykonywać transponowanie macierzy, aby liczyć wyznacznik musisz znać operacje elementarne na wierszach itd.

Warto próbować samodzielnie rozwiązać jak największą liczbę zadań z macierzy i sięgać do rozwiązań zamieszczonych na stronie jedynie w ramach podpowiedzi lub w celu sprawdzenia wyniku. Pod każdym zadaniem masz możliwość zadania pytania w komentarzu, warto z tej możliwości korzystać, ponieważ nie ma głupich pytań i na tej stronie żadne pytanie nie pozostanie bez odpowiedzi. Zachęcam do systematycznej nauki macierzy na przykładach, która przynosi zdecydowanie najlepsze efekty. Powodzenia w nauce macierzy!