W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wykonaj mnożenie macierzy

\[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix},\,\,\,B=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

Rozwiązanie

Iloczyn macierzy jest wykonalny, ponieważ macierz A posiada 3 kolumny, a macierz B ma 3 wiersze, zatem liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Macierz wynikowa C będzie wymiaru 2x2, ponieważ liczba wierszy macierzy A to 2 oraz liczba kolumn macierzy B to też 2, dlatego:

\[A\cdot B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} =C= \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ \end{bmatrix}\]

Obliczmy teraz kolejne elementy macierzy C zgodnie ze wzorem na elementy macierzy powstałej w wyniku mnożenia macierzy (czyli \(c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\ldots+a_{im}\cdot b_{mj}\)):

\[c_{11}=a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}=1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1=5\]

\[c_{12}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}\cdot b_{32}=1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0=1\]

\[c_{21}=a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}=-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1=4\]

\[c_{22}=a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}\cdot b_{32}=-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0=2\]

Podsumowując, iloczyn macierzy A i B będzie następujący:

\[A\cdot B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ (-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}\]

 

Wskazówki

Można mnożyć tylko macierze A i B, takie, że liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Wynikiem mnożenia macierzy A wymiaru mxn przez macierz B wymiaru nxk jest macierz C wymiaru mxk, tj. jeżeli \(A_{m\times n}\), \(B_{n\times k}\), to \(A_{m\times n}\cdot B_{n\times k}=C_{m\times k}\).

Elementy \(c_{ij}\) macierzy C oblicza się ze wzoru:

\[c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\ldots+a_{im}\cdot b_{mj}\]

Zapamiętaj ważne własności mnożenia macierzy

Jeżeli macierze A, B i C są macierzami odpowiednich wymiarów (tak aby działania poniżej były wykonalne), \(a,b\) są liczbami rzeczywistymi, \(0\) to macierz zerowa a \(I\) to macierz jednostkowa, to:
\[\textrm{zwykle:}\,\,\,AB\neq BA\]\[\textrm{potęgowanie macierzy:}\,\,\,A^n=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots\cdot A}_{n\,\,\textrm{razy}}\]\[A(B+C)=AB+AC\]\[(A+B)C=AC+BC\]\[A\cdot 0=0\cdot A=0\]\[I\cdot A=A\cdot I=A\]\[A(aB)=(aA)B\]\[A(BC)=(AB)C\]

 

Komentarzy (0)