W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Korzystając z własności transponowania macierzy uzasadnij, że

\((A-B)^T=A^T-B^T\)

Rozwiązanie

Wykorzystamy własności transponowania macierzy \((A+B)^T=A^T+B^T\) i \((aB)^T=aB^T\), dla \(a\in\mathbb{R}\), stąd:

\[(A-B)^T=(A+(-1)B)^T=A^T+[(-1)B]^T=A^T-B^T\]

Wskazówki

  1. Korzystamy z faktu, że \(A-B=A+(-1)B\)
  2. Korzystamy z własności transpozycji \((A+B)^T=A^T+B^T\) i \((aB)^T=aB^T\), dla \(a\in\mathbb{R}\)

Własności transpozycji macierzy

  • \((A+B)^T=A^T+B^T\) - transpozycja sumy macierzy jest równa sumie macierzy transponowanych
  • \((aA)^T=aA^T\), dla \(a\in\mathbb{R}\) - transpozycja macierzy przemnożonej przez liczbę daje macierz transponowaną przemnożoną przez liczbę
  • \((A^T)^T=A\) - podwójna transpozycja daje macierz wyjściową
  • \((A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T\) - transponowanie iloczynu macierzy jest równe iloczynowi w odwróconej kolejności macierzy transponowanych
  • \(\det(A)=\det(A^T)\) - transponowanie nie zmienia wyznacznika macierzy
  • \(tr(A)=tr(A^T)\) - transponowanie nie zmienia śladu macierzy

 

Komentarzy (2)

  • sebo!
    @gorkalez Dziękuję, błąd poprawiony.
  • gorkalez
    tr to ślad macierzy, zatem w własnościach powinno być raczej napisane: \(tr(A)=tr(A^T)\) - transponowanie nie zmienia ŚLADU macierzy (ostatni wiersz)