W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Liczby zespolone - zadania z rozwiązaniami

Oblicz moduł i argument liczby zespolonej

Sprzężenie, moduł i argument zespolony, zad. 4

Rozwiązanie

Sprzężenie, moduł i argument zespolony, zad. 4 - rozwiązanie

, Zaznaczamy liczbę zespoloną \(i\) oraz jej moduł i argument na płaszczyźnie zespolonej:

Moduł i argument zespolony, zad. 4 - rysunek

Wskazówki

Moduł liczby zespolonej \(z=a+bi\), liczymy ze wzoru

\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Moduł liczby zespolonej z interpretuje się jako odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.

Argument główny liczby zespolonej \(z\)

to kąt między dodatnią częścią osi rzeczywistej (\(Re(z)\)), a promieniem wodzącym liczby zespolonej \(z\).

Zwykle zakłada się, że \(0\le \arg(z)<2\pi\), ale możesz spotkać się też z warunkiem \(-\pi<\arg(z)\le \pi\). Oba warunki są równoważne.

Niech \(z=a+bi\) oraz \(\arg(z)=\alpha\), wtedy

\(\sin \alpha=\frac{b}{|z|}\)

\(\cos \alpha=\frac{a}{|z|}\)

co więcej \(\arg(0)=0\).

Metody wyznaczania argumentu głównego

  1. metoda graficzna - zaznaczamy liczbę zespoloną na płaszczyźnie zespolonej (liczbie \(z=a+bi\) odpowiada punkt o współrzędnych (a,b)) i "na oko" wyznaczamy kąt jaki jest utworzony między dodatnią częścią osi rzeczywistej, a promieniem wodzącym liczby zespolonej
  2. z układu równań (\(z=a+bi\) - dane, \(\alpha\) - szukane):
    \[\sin \alpha=\frac{b}{|z|},\,\,\,\cos \alpha=\frac{a}{|z|}\]
  3. z arcusa tangensa (tylko, gdy \(a>0,\,b>0\)):
    \[\arg(z)=arctg\left(\frac{b}{a}\right),\,\,a>0,\,\,b>0\]

Zwykle stosuje się metodę graficzną (to podstawa!) plus jedna z metod 2 lub 3.

Szybki sposób wyznaczania argumentu:

1 określ, w której ćwiartce płaszczyzny zespolonej leży argument (aby to zrobić wystarczy zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie i zobaczyć w której ćwiartce się znajduje)
2. wyznacz wartość takiego kąta \(\alpha\) leżącego w ćwiartce wyznaczonej w pkt 1, którego sinus jest równy \(\frac{b}{|z|}\) lub cosinus jest równy \(\frac{a}{|z|}\). Wystarczy obliczyć tylko wartość sinusa lub tylko wartość cosinusa, nie trzeba liczyć obu.

Niech \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\).
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w I ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(a\ge 0,b\ge 0\)), to: \[0\le \arg(z)\le \frac{\pi}{2}\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w II ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(a\le 0,b\ge 0\)), to: \[\frac{\pi}{2}\le \arg(z)\le \pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w III ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(a\le 0,b\le 0\)), to: \[\pi\le \arg(z)\le \frac{3}{2}\pi\]
Gdy liczba zespolona \(z\) leży w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(a\ge 0,b\ge 0\)), to: \[\frac{3}{2}\pi\le \arg(z)\le 2\pi\]

Bardzo ważna w tego typu zadaniach jest znajomość funkcji trygonometrycznych, szczególnie wartości sinusa i cosinusa podstawowych kątów (warto nauczyć się na pamięć!):

Sinus i cosinus dla podstawowych wartości kątów

Komentarzy (0)