W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Wykaż, że

\[z\cdot \overline{z}=|z|^2\]

Rozwiązanie

Niech \(z=x+yi\), wtedy \(\overline{z}=x-yi\). Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\):

\[L=z\cdot \overline{z}=(x+yi)(x-yi)=x^2-(yi)^2=x^2-y^2i^2=x^2+y^2\]

ponieważ \(i^2\=-1).

Liczymy teraz prawą stronę:

\[|z|^2=|x+yi|^2=\big(\sqrt{x^2+y^2}\big)^2=x^2+y^2\]

Zatem L=P, co kończy dowód.

Wskazówki

Sprzężenie liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(\overline{z}\):

\[\overline{z}=x-yi\]

Moduł liczby zespolonej \(z=a+bi\), liczymy ze wzoru

\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Moduł liczby zespolonej z interpretuje się jako odległość tej liczby od początku układu współrzędnych.

 

Komentarzy (0)