W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Liczby zespolone - zadania z rozwiązaniami

Rozwiąż nierówność z argumentem liczby zespolonej i wykonaj rysunek na płaszczyźnie zespolonej

\[0< \arg(z)< \frac{\pi}{4}\]

Rozwiązanie

Argument główny to kąt utworzony między dodatnią częścią osi rzeczywistej \(Re(z)\), a promieniem wodzącym liczby zespolonej \(z\), przy czym \(0\le \arg(z)< 2\pi\) (lub \(-\pi<\arg(z)\le \pi\)).

Dlatego liczby zespolone spełniające nasze nierówności leżą w obszarze ograniczonym przez dwie półproste wychodzące z początku układu współrzędnych i tworzące kąty 0 i  \(\frac{\pi}{4}\) z dodatnią częścią osi \(Re(z)\).

Nierówności są ostre, więc brzegi (czyli dwie dodatnie części półprostych o równaniach \(y=x\) i \(y=0\)) nie należą do zbioru rozwiązań i należy zaznaczyć je liniami przerywanymi:

nierownosc arg z mniejsze od pi przez 2

Wskazówki

Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej

Równanie z argumentem liczby zespolonej:

\[\arg(z)=\alpha,\,\,\,\alpha\in[0,2\pi)\]

wyznacza zbiór wszystkich liczb zespolonych leżących na półprostej wychodzącej z początku układu współrzędnych i tworzącej kąt \(\alpha\) z dodatnią częścią osi rzeczywistej \(Re(z)\).

Nierówność z argumentem liczby zespolonej:

\[\alpha<\arg(z)<\beta,\,\,\,\,\alpha,\,\beta\in[0,2\pi)\]

wyznacza zbiór wszystkich liczb zespolonych leżących w obszarze pomiędzy półprostymi wychodzącymi z początku układu współrzędnych i tworzących kąty \(\alpha\) i \(\beta\) z dodatnią częścią osi rzeczywistej \(Re(z)\).

 

Komentarzy (2)

  • Sebastian Orzeł
    @Zubru22 Błąd poprawiony, dziękuję za komentarz.
  • Zubru22
    W pierwszym zdaniu rozwiązania jest błąd, "częśćią" a powinno być "częścią" :)

Jesteś w kategorii Liczby zespolone zadania z rozwiązaniami

Znajdziesz tutaj przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku z zakresu liczb zespolonych. Działy tematyczne obejmują najprostsze zagadnienia, takie jak działania na liczbach zespolonych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie), metody obliczania modułu i argumentu zespolonego oraz bardziej skompliowane zagadnienia, takie jak potęgowanie liczb zespolonych (wzór de Moivre'a), równania zespolone, metody obliczania pierwiastków zespolonych oraz rysowanie zbiorów na płaszczyźnie zespolonej. Zadania najczęścieij uporządkowane są pod względem rosnącego poziomu trudności.

Na stronie obliczone.pl będziesz uczyć się liczb zespolonych na przykładach, co pozwoli Ci opanować materiał dużo szybciej i efektywniej. Wystarczy pracować systematycznie i starać się przeanalizować ze zrozumieniem jak najwięcej zadań. W przypadku, gdy będziesz mieć problem ze zrozumieniem jakiegoś fragmentu rozwiązania zachęcam do zadawania pytań w komentarzu pod zadaniem. Nawet najbanalniejsze pytanie nie pozostanie bez odpowiedzi. Na koniec nie pozostaje mi nic innego jak tylko życzyć Ci udanej nauki liczb zespolonych i sukcesu na kolokwium, czy też egzaminie. Powodzenia!