W celu poprawnego działania witryny stosujemy pliki cookies (ciasteczka). Więcej informacji w Polityce Prywatności.

Rozumiem

NAUCZ SIĘ JEDNEGO DZIAŁU MATEMATYKI WYŻSZEJ W 3 DNI
 Wystarczy uczyć się na przykładach, a teorię OGARNĄĆ przy okazji
Na pokładzie mamy już 29 000 studentów. Dołącz i Ty!

Liczby zespolone - zadania z rozwiązaniami

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb zespolonych

Płaszczyzna zespolona, zad. 1

Rozwiązanie

Liczby zespolone spełniające naszą nierówność leżą w odległości mniejszej niż 1 od środka układu współrzędnych, czyli wewnątrz koła o środku w punkcie \(z_0=0\) i promieniu \(r=1\). Nierówność jest ostra, więc brzeg (czyli okrąg) nie należy do zbioru rozwiązań i należy zaznaczyć go linią przerywaną:

Płaszczyzna zespolona, zad. 1 - rozwiązanie

Wskazówki

Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej \(z=x+yi\) liczymy ze wzoru

\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]

Moduł jest równy odległości liczby zespolonej \(z\) od początku (środka) układu współrzędnych. 

Nierówność \(|z-z_0|<r\) wyznacza zawsze zbiór liczb zespolonych \(z\) odległych od punktu \(z_0\) o odległość mniejszą niż \(r\).
Zbiór ten tworzy koło bez brzegu o środku w punkcie \(z_0\) i promieniu r.

Wyprowadzenie postaci zbioru rozwiązań nierówności \(|z-z_0|<r\)

Rozważmy ogólną nierówność \(|z-z_0|<r\), gdzie \(r>0\) (\(r\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią), a \(z\) i \(z_0\) są liczbami zespolonymi, przy czym \(z_0\) jest znana i podana w treści zadania.

Niech \(z=x+yi\), \(z_0=x_0+y_0i\), wtedy

\[|z-z_0|=|x+yi-(x_0+y_0i)|=|(x-x_0)+(y-y_0)i|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\]

Zatem wychodząc od nierównośći \(|z-z_0|<r\) otrzymujemy równoważną nierówność

\[\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<r\]

Podnosząc obie strony do kwadratu uzyskujemy nierówność opisującą koło bez brzegu o środku w punkcie \(S=(x_0,y_0)=z_0\) i promieniu równym \(r\)

\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<r^2\]

Komentarzy (0)


    Jesteś w kategorii Liczby zespolone zadania z rozwiązaniami

    Znajdziesz tutaj przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku z zakresu liczb zespolonych. Działy tematyczne obejmują najprostsze zagadnienia, takie jak działania na liczbach zespolonych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie), metody obliczania modułu i argumentu zespolonego oraz bardziej skompliowane zagadnienia, takie jak potęgowanie liczb zespolonych (wzór de Moivre'a), równania zespolone, metody obliczania pierwiastków zespolonych oraz rysowanie zbiorów na płaszczyźnie zespolonej. Zadania najczęścieij uporządkowane są pod względem rosnącego poziomu trudności.

    Na stronie obliczone.pl będziesz uczyć się liczb zespolonych na przykładach, co pozwoli Ci opanować materiał dużo szybciej i efektywniej. Wystarczy pracować systematycznie i starać się przeanalizować ze zrozumieniem jak najwięcej zadań. W przypadku, gdy będziesz mieć problem ze zrozumieniem jakiegoś fragmentu rozwiązania zachęcam do zadawania pytań w komentarzu pod zadaniem. Nawet najbanalniejsze pytanie nie pozostanie bez odpowiedzi. Na koniec nie pozostaje mi nic innego jak tylko życzyć Ci udanej nauki liczb zespolonych i sukcesu na kolokwium, czy też egzaminie. Powodzenia!